2017-全国卷II理-11 单-导数运算

本题导读

本题考查导数的乘法法则与复合函数求导，以及极值的定义与性质。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(理)） 若 $x=-2$ 是函数 $f(x)=(x^2+ax-1)e^{x-1}$ 的极值点，则 $f(x)$ 的极小值为 ()

A. $-1$　　　　　　B. $-2e^{-3}$　　　　　　C. $5e^{-3}$　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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1. 确定参数 $a$：利用导数的乘法法则对 $f(x)$ 求导。由于 $x=-2$ 是极值点，根据极值点的必要条件必有 $f^{\prime }(-2)=0$，由此建立关于 $a$ 的方程并解出。
2. 分析单调性：将求得的 $a$ 代入导函数 $f^{\prime }(x)$，通过解不等式 $f^{\prime }(x)>0$ 和 $f^{\prime }(x)<0$ 确定函数的增减区间。
3. 寻找极小值点：根据“左减右增”的原则确定极小值点所在位置。
4. 计算结果：将极小值点代入原函数 $f(x)$ 计算出具体数值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求导并利用极值点条件 $f^{\prime }(x)=(2x+a)e^{x-1}+(x^2+ax-1)e^{x-1}=[x^2+(a+2)x+a-1]e^{x-1}$。 因为 $x=-2$ 是 $f(x)$ 的极值点，所以 $f^{\prime }(-2)=0$。 代入得：$(-2{)}^2+(a+2)(-2)+a-1=0\Rightarrow 4-2a-4+a-1=0$。 解得 **$a=-1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1977-吉林-13 解-导数运算
• 1977-山西-09 解-导数运算
• 2018-天津卷文-10 填-导数运算