2017-全国卷II理-13 填-二项分布

本题导读

本题考查独立重复试验，以及二项分布的定义。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(理)） 一批产品的二等品率为 $0.02$，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 $100$ 次，$X$ 表示抽到的二等品件数，则 $DX=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 识别模型：“有放回地抽取”且“每次抽取的概率不变”，说明这 $100$ 次抽取是相互独立的。
2. 确定分布：随机变量 $X$（二等品件数）服从二项分布，记作 $X\sim B(n,p)$。

• 其中试验次数 $n=100$。
• 成功概率（抽到二等品的概率）$p=0.02$。

3. 应用公式：直接利用二项分布的方差公式 $DX=np(1-p)$ 进行计算。

✅【答案】

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$1.96$

✍【详细解析】

Abstract

解： 由题意可知，由于抽取是有放回的，每次抽到二等品的概率均为 $p=0.02$。 则 $X$ 服从参数为 $n=100,p=0.02$ 的二项分布，即 $X\sim B(100,0.02)$。 根据二项分布的方差公式： $DX=n\cdot p\cdot (1-p)$ 代入数据得： $DX=100\times 0.02\times (1-0.02)$ $DX=2\times 0.98$ $DX=1.96$ 故答案为：$1.96$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 二项分布的特征：必须是独立重复试验。如果是“无放回”抽取，则 $X$ 服从超几何分布，方差公式将完全不同。
• 公式辨析：
• 期望（均值）：$EX=np$
• 方差：$DX=npq$（其中 $q=1-p$）
• 计算细节：此类题目计算量极小，但需注意小数点的位置，避免将 $100\times 0.02$ 算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 期望计算： 若题目求 $EX$，则 $EX=100\times 0.02=2$。

2. 变式思考（无放回）： 如果题目改为“无放回地抽取”，且产品总量已知（设为 $N$），则 $X$ 服从超几何分布。当 $N$ 很大时，超几何分布可以用二项分布来近似。

3. 实际意义： 方差 $1.96$ 反映了在大量重复抽样中，抽到的二等品数量相对于平均值（2件）的离散程度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-19 解-二项分布
• 2014-湖北卷理-20 解-二项分布
• 2018-全国卷III理-08 单-二项分布