2017-全国卷II理-22 解-极坐标

本题导读

本题考查极坐标与直角坐标的互化。核心在于坐标转换法、参数方程法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(理)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_1$ 的极坐标方程为 $\rho \cos \theta =4$.

(1)$M$ 为曲线 $C_1$ 上的动点，点 $P$ 在线段 $OM$ 上，且满足 $|OM|\cdot |OP|=16$，求点 $P$ 的轨迹 $C_2$ 的直角坐标方程；

(2)设点 $A$ 的极坐标为 $(2,\frac{\pi }{3})$，点 $B$ 在曲线 $C_2$ 上，求 $\Delta OAB$ 面积的最大值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（轨迹方程）：

• 设定极坐标：设 $M({\rho }_1,\theta )$，$P(\rho ,\theta )$。由于 $P$ 在 $OM$ 上，它们的极角相同。
• 利用已知条件：由 $M$ 在 $C_1$ 上得 ${\rho }_1\cos \theta =4$，即 ${\rho }_1=\frac{4}{\cos \theta }$。
• 代入关系式：将 ${\rho }_1$ 代入 ${\rho }_1\cdot \rho =16$，求出 $\rho$ 关于 $\theta$ 的表达式。
• 转化坐标：利用 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 将极坐标方程化为直角坐标方程。

2. 第二问（面积最值）：

• 坐标转换：将 $A(2,\frac{\pi }{3})$ 转化为直角坐标，或直接利用极坐标面积公式。
• 参数化动点：曲线 $C_2$ 是一个圆，使用参数方程表示点 $B$ 的坐标。
• 面积公式：$S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}|OA|\cdot |OB|\cdot \sin \angle AOB$。其中 $|OA|=2$，$\angle AOB$ 随 $B$ 点位置变化。

✅【答案】

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(1) $(x-2{)}^2+y^2=4(x\ne 0)$

(2) $S_{\max }=2+\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 设 $M({\rho }_1,\theta )$，$P(\rho ,\theta )$ ($\rho >0$)。 因为 $M$ 在曲线 $C_1:\rho \cos \theta =4$ 上，所以 ${\rho }_1=\frac{4}{\cos \theta }$。 已知 $|OM|\cdot |OP|=16$，即 ${\rho }_1\cdot \rho =16$。 代入得：$\frac{4}{\cos \theta }\cdot \rho =16$，整理得 $\rho =4\cos \theta$。 将 ${\rho }^2=\rho \cdot 4\cos \theta$ 化为直角坐标方程： $x^2+y^2=4x$，即 $(x-2{)}^2+y^2=4$。 由于 ${\rho }_1=\frac{4}{\cos \theta }$ 要求 $\cos \theta \ne 0$，且 $\rho >0$， 所以 $x\ne 0$。 故 $C_2$ 的直角坐标方程为 $(x-2{)}^2+y^2=4$ ($x\ne 0$)。

(2)解： 由(1)知曲线 $C_2$ 是以 $(2,0)$ 为圆心， $2$ 为半径的圆。 其极坐标方程为 $\rho =4\cos \theta$。 点 $A$ 的极坐标为 $(2,\frac{\pi }{3})$，则 $|OA|=2$，极角 ${\theta }_A=\frac{\pi }{3}$。 设点 $B$ 的极坐标为 $({\rho }_B,{\theta }_B)$，则 ${\rho }_B=4\cos {\theta }_B$。 $\Delta OAB$ 的面积 $S=\frac{1}{2}|OA|\cdot |OB|\cdot \sin |{\theta }_B-{\theta }_A|$ $S=\frac{1}{2}\times 2\times (4\cos {\theta }_B)\times \sin |{\theta }_B-\frac{\pi }{3}|$ $S=4\cos {\theta }_B\sin ({\theta }_B-\frac{\pi }{3})$ （设 ${\theta }_B>\frac{\pi }{3}$） $S=4\cos {\theta }_B(\sin {\theta }_B\cos \frac{\pi }{3}-\cos {\theta }_B\sin \frac{\pi }{3})$ $S=4\cos {\theta }_B(\frac{1}{2}\sin {\theta }_B-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos {\theta }_B)$ $S=2\sin {\theta }_B\cos {\theta }_B-2\sqrt{3}{\cos }^2{\theta }_B$ $S=\sin 2{\theta }_B-\sqrt{3}(1+\cos 2{\theta }_B)$ $S=\sin 2{\theta }_B-\sqrt{3}\cos 2{\theta }_B-\sqrt{3}$ $S=2\sin (2{\theta }_B-\frac{\pi }{3})-\sqrt{3}$。 当 $2{\theta }_B-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$ 或其反向最大时（考虑面积为正）， 由于 ${\theta }_B$ 的范围限制，此式最大值出现在正向。 另解（几何法，更简洁）： 点 $A$ 坐标为 $(2\cos \frac{\pi }{3},2\sin \frac{\pi }{3})=(1,\sqrt{3})$。 直线 $OA$ 的方程为 $y=\sqrt{3}x$，即 $\sqrt{3}x-y=0$。 $\Delta OAB$ 面积 $S=\frac{1}{2}|OA|\cdot h$，其中 $h$ 是点 $B$ 到直线 $OA$ 的距离。 圆 $C_2$ 的圆心 $C(2,0)$ 到直线 $OA$ 的距离 $d=\frac{|\sqrt{3}\times 2-0|}{\sqrt{3+1}}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。 点 $B$ 到直线 $OA$ 距离的最大值 $h_{\max }=d+r=\sqrt{3}+2$。 所以 $S_{\max }=\frac{1}{2}\times 2\times (\sqrt{3}+2)=2+\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 极坐标反演：第一问的背景其实是几何变换中的“反演”，直线经过反演变换后会变成过原点的圆。
• 几何法优于代数法：在求涉及圆的三角形面积最值时，利用“底 $\times$（圆心到直线距离 + 半径）”通常比纯三角函数化简更不容易出错。
• 范围限制：注意 $x\ne 0$ 的限制，但在求面积最值时，由于 $O$ 点本身不能构成三角形，这个限制不影响结果。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷文-14 填-极坐标
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