2016-北京卷理-11 填-极坐标

本题导读

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(理)） 在极坐标系中，直线 $\rho \cos \theta -\sqrt{3}\rho \sin \theta -1=0$ 与圆 $\rho =2\cos \theta$ 交于 $A,B$ 两点，则 $|AB|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 转化坐标系：利用公式 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，${\rho }^2=x^2+y^2$，将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程。

2. 确定圆的性质：求出圆的圆心坐标 $(x_0,y_0)$ 和半径 $r$。

3. 判定位置关系：计算圆心到直线的距离 $d$。

4. 计算弦长：利用弦长公式 $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$。特别地，如果 $d=0$，则弦长等于直径。

✅【答案】

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2

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 直线的直角坐标方程： 由 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 代入直线方程得： $x-\sqrt{3}y-1=0$。

2. 圆的直角坐标方程： 由 $\rho =2\cos \theta$，两边同乘以 $\rho$ 得： ${\rho }^2=2\rho \cos \theta$ 代入得：$x^2+y^2=2x$ 配方整理得：$(x-1{)}^2+y^2=1$。 可知该圆的圆心为 $C(1,0)$，半径 $r=1$。

3. 计算圆心到直线的距离： 将点 $C(1,0)$ 代入直线方程 $x-\sqrt{3}y-1=0$： $d=\frac{|1-\sqrt{3}(0)-1|}{\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}}=\frac{0}{2}=0$。

4. 结论： 由于 $d=0$，说明圆心 $C$ 在直线上，即直线经过圆心。 因此，弦 $AB$ 是圆的直径。 $|AB|=2r=2\times 1=2$。

故答案为 2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 转化技巧：在处理极坐标问题时，“两边同乘以 $\rho$”是化圆的方程为直角坐标形式的常用技巧。
• 特殊位置：如果圆心到直线的距离为 $0$，往往意味着可以直接得出直径，省去了复杂的勾股定理运算。
• 北京卷填空题常有这种“特殊值”设计，计算出 $d=0$ 时应有意识地直接联系直径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若直线方程改为 $\rho \cos \theta =1$，则 $|AB|$ 为多少？（此时直线为 $x=1$，经过圆心，结果仍为 2）。
2. 知识关联：极坐标是选修 4-4 的内容，在理科高考中通常作为填空题出现，考查重点非常集中，主要是互化和距离计算。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2017-全国卷II文-22 解-极坐标
• 2017-全国卷II理-22 解-极坐标
• 2017-北京卷理-11 填-极坐标

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