2017-全国卷III文-06 单-两角和差

本题导读

本题考查两角和与差的正弦余弦公式，以及辅助角公式求函数最大值。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(文)） 函数 $f(x)=\frac{1}{5}\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$ 的最大值为 ()

A. $\frac{6}{5}$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $\frac{3}{5}$　　　　　　　D. $\frac{1}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用两角和差公式展开 $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ 与 $\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$。
2. 合并同类项，化为 $A\sin x+B\cos x$ 形式，再用辅助角公式求最大值。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

由 $\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\cos x\cos \frac{\pi }{6}+\sin x\sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x$， 且 $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{3}+\cos x\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x$。 于是 $f(x)=\frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)+\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)$ $=\frac{6}{5}\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)$ $=\frac{6}{5}\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$。 所以 $f(x)$ 的最大值为 $\frac{6}{5}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角和差公式、辅助角公式、正弦型函数最值。
2. 核心方法：展开后合并，再用辅助角公式求最值。
3. 避坑指南：注意 $\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$ 展开后恰与 $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ 同结构，系数相加即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考三角函数化简求值题。
2. 结论推广：$a\sin x+b\cos x$ 的最大值为 $\sqrt{a^2+b^2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷II文-15 填-两角和差
• 2019-上海卷-16 单-两角和差
• 2019-江苏卷-13 填-两角和差