2019-江苏卷-13 填-两角和差

本题导读

本题考查三角函数两角和的正切公式，以及三角函数二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2019年江苏卷）已知 $\frac{\tan \alpha }{\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)}=-\frac{2}{3}$，则 $\sin \left(2\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$ 的值是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解方程求 $\tan \alpha$：利用两角和的正切公式 $\tan (\alpha +\frac{\pi }{4})=\frac{\tan \alpha +1}{1-\tan \alpha }$ 代入已知等式，构建关于 $\tan \alpha$ 的一元二次方程。
2. 展开目标式：利用两角和的正弦公式将 $\sin (2\alpha +\frac{\pi }{4})$ 展开为 $\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin 2\alpha +\cos 2\alpha )$。
3. 齐次式转换：利用二倍角公式将 $\sin 2\alpha$ 和 $\cos 2\alpha$ 转化为关于 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 的二次齐次式，通过分母“1”（${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha$）实现“弦化切”。
4. 代入求值：将求得的 $\tan \alpha$ 结果代入化简后的表达式，注意检查是否存在多种情况。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{2}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{\sqrt{2}}{10}$

【解析过程】 第一步：求 $\tan \alpha$ 由已知条件： $\frac{\tan \alpha }{\frac{\tan \alpha +1}{1-\tan \alpha }}=\frac{\tan \alpha (1-\tan \alpha )}{\tan \alpha +1}=-\frac{2}{3}$ 整理得： $3\tan \alpha -3{\tan }^2\alpha =-2\tan \alpha -2$ $3{\tan }^2\alpha -5\tan \alpha -2=0$ 解方程 $(3\tan \alpha +1)(\tan \alpha -2)=0$，得： $\tan \alpha =2\text{或}\tan \alpha =-\frac{1}{3}$

第二步：化简目标式 $\sin \left(2\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\sin 2\alpha \cos \frac{\pi }{4}+\cos 2\alpha \sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin 2\alpha +\cos 2\alpha )$ 利用万能公式或齐次式法： $\sin 2\alpha +\cos 2\alpha =\frac{2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }=\frac{2\tan \alpha +1-{\tan }^2\alpha }{1+{\tan }^2\alpha }$

第三步：分情况代入

1. 当 $\tan \alpha =2$ 时： $\sin 2\alpha +\cos 2\alpha =\frac{2\times 2+1-2^2}{1+2^2}=\frac{4+1-4}{5}=\frac{1}{5}$ 目标值 $=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{5}=\frac{\sqrt{2}}{10}$。
2. 当 $\tan \alpha =-\frac{1}{3}$ 时： $\sin 2\alpha +\cos 2\alpha =\frac{2\times (-\frac{1}{3})+1-(-\frac{1}{3}{)}^2}{1+(-\frac{1}{3}{)}^2}=\frac{-\frac{2}{3}+1-\frac{1}{9}}{1+\frac{1}{9}}=\frac{\frac{2}{9}}{\frac{10}{9}}=\frac{1}{5}$ 目标值 $=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{5}=\frac{\sqrt{2}}{10}$。

综上所述，$\sin \left(2\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{10}$。

故填：$\frac{\sqrt{2}}{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 齐次式的魅力：在已知 $\tan \alpha$ 求 $\sin 2\alpha ,\cos 2\alpha$ 或 ${\sin }^2\alpha$ 等二次齐次式时，利用 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 进行分母代换是最稳健的方法。
2. 万能公式备选：本题也可以直接使用万能公式：$\sin 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1+{\tan }^2\alpha }$，$\cos 2\alpha =\frac{1-{\tan }^2\alpha }{1+{\tan }^2\alpha }$。
3. 计算的巧合：虽然 $\tan \alpha$ 有两个值，但代入后的结果相同。这通常意味着目标式具有某种对称性，或者 $\tan \alpha$ 的两个根之间存在某种互余/互补的诱导关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理正切与其他三角函数的转化桥梁：

• 核心桥梁：$\tan \alpha \stackrel{1={\sin }^2+{\cos }^2}{\leftrightarrow }\sin 2\alpha ,\cos 2\alpha ,{\cos }^2\alpha$。
• 降幂公式：${\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }$（在 $x$ 轴投影的角度理解）。
• 两角和正切的变体：$\tan \alpha \pm \tan \beta =\tan (\alpha \pm \beta )(1\mp \tan \alpha \tan \beta )$，常用于处理正切的和、积关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2004-天津理-17 解-两角和的正切公式
• 2015-广东卷文-16 解-三角恒等变换
• 1978-全国卷-06