2017-全国卷III文-07 单-函数图象

本题导读

本题考查函数图象的识别，以及奇偶性与特殊值排除法。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(文)） 函数 $y=1+x+\frac{\sin x}{x^2}$ 的部分图象大致为 ()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 看奇偶性：判断 $f(x)$ 的奇偶性，可排除若干选项。
2. 看特殊值：取 $x=\pi$ 或 $x=1$ 等特殊值判断函数值符号，进一步排除。
3. 看极限趋势：$x\to +\infty$ 时函数值趋于 $+\infty$，$x\to 0^{+}$ 时的行为进一步锁定图象。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

设 $f(x)=1+x+\frac{\sin x}{x^2}$，其定义域为 $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$。

第一步：奇偶性判断。 $f(-x)=1-x+\frac{-\sin x}{x^2}=1-x-\frac{\sin x}{x^2}$ 而 $f(x)+f(-x)=2+\frac{2\sin x}{x^2}-x+x$，各项并非关于 $x$ 的同类项，故 $f(x)$ 非奇非偶，图象不关于原点或 $y$ 轴对称。

第二步：特殊值判断。 取 $x=\pi$： $f(\pi )=1+\pi +\frac{\sin \pi }{{\pi }^2}=1+\pi +0=1+\pi >0$ 取 $x=-\pi$： $f(-\pi )=1-\pi +\frac{\sin (-\pi )}{{\pi }^2}=1-\pi <0$ 即 $f(\pi )>0$ 而 $f(-\pi )<0$，说明当 $x>0$ 时函数值为正，$x<0$ 时函数值为负。

第三步：趋势分析。 当 $x\to 0^{+}$ 时，$\frac{\sin x}{x^2}\approx \frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}\to +\infty$，故 $f(x)\to +\infty$； 当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)\to +\infty$；当 $x\to 0^{-}$ 时，$\frac{\sin x}{x^2}\approx \frac{1}{x}\to -\infty$，故 $f(x)\to -\infty$。

综合以上：图象在 $y$ 轴右侧为正且趋于 $+\infty$，左侧趋于 $-\infty$，无对称性。对照四个选项，只有 D 符合。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数图象的识别；奇偶性、特殊值、极限趋势三把”尺子”。
2. 核心方法：性质排除法——先验奇偶性排除对称选项，再取特殊值判断符号，最后看趋势。
3. 避坑指南：$\frac{\sin x}{x^2}$ 在 $x\to 0$ 时的极限不能想当然写成 $1$（那是 $\frac{\sin x}{x}$），应写成 $\frac{1}{x}$ 的量级，两侧符号相反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：全国卷高频”图象识别”题型，源自教材中函数性质的综合应用。
2. 结论推广：图象识别三步曲——奇偶性定对称、特殊值定符号、极限趋势定走向，适用于所有 $\frac{g(x)}{h(x)}$ 型函数图象题。
3. 方法推广：若奇偶性无法排除，可再考察单调性区间或 $f(x)=0$ 的零点个数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷理-08 单-函数图象
• 2014-江西卷文-10 单-函数图象
• 2014-福建卷文-08 单-函数图象