2014-福建卷文-08 单-函数图象

本题导读

本题先由对数函数图象过点 $(3,1)$ 定出底数 $a=3$，再据指数、幂、对数函数的单调性与特殊点逐一甄别四个选项。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(文)） 若函数 $y={\log }_{a}x(a>0$ 且 $a\ne 1)$ 的图象如图所示，则下列函数图象正确的是 ()

🔍【思路分析】

破题导航

由 ${\log }_{a}3=1$ 得 $a=3>1$。选项 A、B、C、D 分别为 $y=a^{-x}$、$y=x^a$、$y=(-x{)}^a$、$y={\log }_a(-x)$ 型图象，用单调性与过定点信息排查。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

详细解析

由图象过 $(3,1)$ 得 ${\log }_{a}3=1$，故 $a=3$。选项 B 中 $y=a^{-x}=3^{-x}={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ 为减函数且过点 $(0,1)$，与图示相符；其余选项的图象在单调性或所过定点上与图示矛盾。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本初等函数图象的识别
2. 核心方法：定点信息定底数 + 单调性排查
3. 避坑指南：由“图象过 $(3,1)$”读出 ${\log }_{a}3=1\Rightarrow a=3$ 是解题钥匙；此外 $y=3^{-x}$ 与 $y=3^x$ 关于 $y$ 轴对称、$y={\log }_3(-x)$ 与 $y={\log }_{3}x$ 也关于 $y$ 轴对称，若把“翻折”方向记反就会错选。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: “由一图定参、辨多图”是函数图象小题的常见命题模式，本题一组素材串起指数、对数、幂函数三类图象。
2. 结论推广: 若图中对数曲线改为过 $\left(\frac{1}{3},1\right)$，则 $a=\frac{1}{3}$，各选项的单调性判断将全部反转。
3. 方法推广: 识图三问：过哪个定点？增还是减？定义域到哪？三问齐答即可锁定选项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 06.00 知识网络

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷理-15 填-新定义函数
• 2014-福建卷理-04 单-对数函数及其性质