2017-全国卷III文-12 单-函数零点

本题导读

本题考查含参数函数的唯一零点问题，以及利用偶函数对称性确定参数。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(文)） 已知函数 $f(x)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1})$ 有唯一零点，则 $a=$ ()

A. $-\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{1}{3}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $t=x-1$，函数化为 $h(t)=t^2-1+a(e^t+e^{-t})$，是偶函数。
2. 偶函数若有非零零点必成对出现，故唯一零点只能是 $t=0$。
3. 由 $h(0)=0$ 解出 $a$，再验证。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=x-1$，则 $f(x)=(t+1{)}^2-2(t+1)+a(e^t+e^{-t})=t^2-1+a(e^t+e^{-t})$。 设 $h(t)=t^2-1+a(e^t+e^{-t})$，则 $h(-t)=h(t)$，$h(t)$ 为偶函数。 若 $h(t)$ 有非零零点 $t_0$，则 $-t_0$ 也是零点，与”唯一零点”矛盾。 故唯一零点为 $t=0$，即 $h(0)=-1+2a=0$，得 $a=\frac{1}{2}$。 当 $a=\frac{1}{2}$ 时，$h(t)=t^2-1+\frac{1}{2}(e^t+e^{-t})$，可验证 $h(t)\ge 0$ 且仅 $t=0$ 取等号，满足唯一零点。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数零点、偶函数对称性、换元法。
2. 核心方法：换元转化为偶函数，利用对称性。
3. 避坑指南：偶函数的唯一零点必在对称轴处（此处为 $0$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考函数与导数压轴选择题。
2. 结论推广：偶函数若零点唯一，则该零点必为对称轴上的点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-14 填-函数零点
• 2014-北京卷文-06 单-函数零点
• 2014-湖北卷文-09 单-函数零点