2014-北京卷文-06 单-函数零点

本题导读

$f(2)=2>0$，$f(4)=-\frac{1}{2}<0$，异号，零点在 $(2,4)$，选 C。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(文)） 已知函数 $f(x)=\frac{6}{x}-{\log }_{2}x$，在下列区间中，包含 $f(x)$ 零点的区间是()

A. $(0,1)$　　　　　B. $(1,2)$　　　　　C. $(2,4)$　　　　　D. $(4,+\infty )$

🔍【思路分析】

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$f(2)=2>0$，$f(4)=-\frac{1}{2}<0$，异号，零点在 $(2,4)$，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上连续。

逐项算端点值：$f(1)=6-0=6>0$；$f(2)=3-1=2>0$；$f(4)=\frac{6}{4}-2=\frac{3}{2}-2=-\frac{1}{2}<0$。

$f(2)>0$ 与 $f(4)<0$ 异号，由零点存在定理，$f(x)$ 在 $(2,4)$ 内有零点。选 C。

（补充：$f^{\prime }(x)=-\frac{6}{x^2}-\frac{1}{x\ln 2}<0$，$f$ 在 $(0,+\infty )$ 上严格递减，故零点唯一。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：零点存在定理；函数的单调性

2. 核心方法：连续 + 端点异号 ⟹ 区间内有零点

3. 避坑指南：端点值代入要算准：$f(4)=\frac{6}{4}-2=\frac{3}{2}-2=-\frac{1}{2}$，分式先约分再相减，别心算成 $3-2=1$；${\log }_{2}4=2$ 别记成 ${\log }_{2}4=4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 零点存在定理应用题，与 2014 年新课标Ⅰ理第 11 题同族。

2. 结论推广: 一般地，连续函数在 $[a,b]$ 上 $f(a)\cdot f(b)<0$ 则 $(a,b)$ 内有零点；若还单调则零点唯一——“唯一性”常是后续设问的考点。

3. 方法推广: 零点定位：先确认连续，再从左到右算各选项端点值，第一个异号区间即答案。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-11 单-极值
• 1977-北京理-07