2017-全国卷III文-16 填-分段函数

本题导读

本题考查分段函数与含参不等式的求解，以及对自变量分区间讨论。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(文)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x\le 0,\\ 2^x,& x>0,\end{array}$ 则满足 $f(x)+f\left(x-\frac{1}{2}\right)>1$ 的 $x$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分段讨论 $x$ 与 $x-\frac{1}{2}$ 所在的区间。
2. 分别代入对应解析式解不等式，取并集。

✅【答案】

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$\left(-\frac{1}{4},+\infty \right)$

✍【详细解析】

Abstract

分段讨论： ① 当 $x\le 0$ 时，$x-\frac{1}{2}<0$，$f(x)=x+1$，$f\left(x-\frac{1}{2}\right)=x+\frac{1}{2}$。 不等式为 $(x+1)+\left(x+\frac{1}{2}\right)>1$，即 $2x+\frac{3}{2}>1$，得 $x>-\frac{1}{4}$。结合 $x\le 0$，得 $-\frac{1}{4}<x\le 0$。 ② 当 $0<x\le \frac{1}{2}$ 时，$x-\frac{1}{2}\le 0$，$f(x)=2^x$，$f\left(x-\frac{1}{2}\right)=x+\frac{1}{2}$。 不等式为 $2^x+x+\frac{1}{2}>1$，即 $2^x>\frac{1}{2}-x$，在 $0<x\le \frac{1}{2}$ 上恒成立。得 $0<x\le \frac{1}{2}$。 ③ 当 $x>\frac{1}{2}$ 时，$f(x)=2^x$，$f\left(x-\frac{1}{2}\right)=2^{x-\frac{1}{2}}$，两者均为正，恒大于 $1$。得 $x>\frac{1}{2}$。 综上，$x\in \left(-\frac{1}{4},+\infty \right)$。 故答案为：$\left(-\frac{1}{4},+\infty \right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数求值、分段不等式。
2. 核心方法：分区间讨论。
3. 避坑指南：注意临界点 $x=0$ 和 $x=\frac{1}{2}$ 的分段，勿漏区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考分段函数不等式经典题。
2. 结论推广：含自变量平移的分段函数不等式，以分段点为界全面讨论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-16 填-分段函数
• 2013-新课标I卷理-11 单-分段函数
• 2013-陕西卷理-08 单-分段函数