2013-新课标I卷理-11 单-分段函数

本题导读

本题考查图象与性质，以及分段函数。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(理)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2+2x,& x\le 0\\ \ln (x+1),& x>0\end{array}$，若 $|f(x)|\ge ax$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是()

A. $(-\infty ,0]$　　　　B. $(-\infty ,1]$　　　　C. $[-2,1]$　　　　D. $[-2,0]$

🔍【思路分析】

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1. 构建绝对值函数图象：
   • 当 $x>0$ 时，$f(x)=\ln (x+1)>0$，故 $|f(x)|=\ln (x+1)$。
   • 当 $x\le 0$ 时，$f(x)=-x^2+2x\le 0$，故 $|f(x)|=x^2-2x$。
2. 转化几何关系：不等式 $|f(x)|\ge ax$ 恒成立，意味着函数 $y=|f(x)|$ 的图象始终在直线 $y=ax$ 的上方或与其相切/相交。
3. 寻找临界斜率：
   • 直线 $y=ax$ 经过原点。
   • 在左侧 ($x<0$)，斜率 $a$ 的下限由抛物线在原点处的切线斜率决定。
   • 在右侧 ($x>0$)，由于对数函数的增长特性，斜率 $a$ 的上限需结合整体趋势判定。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract


第一步：确立 $|f(x)|$ 的解析式 $y=|f(x)|=\{\begin{array}{ll}{x}^2-2x,& x\le 0\\ \ln (x+1),& x>0\end{array}$

第二步：分析第二象限 ($x<0$) 的限制条件 要使 $x^2-2x\ge ax$ 对 $x<0$ 恒成立，即直线 $y=ax$ 不能在抛物线上方。 利用导数求曲线在原点左侧的切线斜率： 设 $g(x)=x^2-2x$，则 $g^{\prime }(x)=2x-2$。 当 $x=0$ 时，$k_{\text{左}}=g^{\prime }(0)=-2$。 由于抛物线 $y=x^2-2x$ 在 $x<0$ 时开口向上且递减，直线 $y=ax$ 只有在斜率 $a\ge -2$ 时，其左侧部分才会在曲线下方。

第三步：分析第一象限 ($x>0$) 的限制条件 要使 $\ln (x+1)\ge ax$ 对 $x>0$ 恒成立。

1. 局部分析：曲线 $y=\ln (x+1)$ 在原点处的切线斜率。 设 $h(x)=\ln (x+1)$，则 $h^{\prime }(x)=\frac{1}{x+1}$。 当 $x=0$ 时，$k_{\text{右}}=h^{\prime }(0)=1$。
2. 整体分析：虽然局部要求 $a\le 1$，但由于对数函数是“上凸”的且增长极其缓慢（增长速度慢于任何正比例函数），若 $a>0$，则当 $x$ 足够大时，直线 $y=ax$ 必然会超过 $y=\ln (x+1)$。 因此，为了保证在 $(0,+\infty )$ 上恒成立，斜率 $a$ 必须满足 $a\le 0$。

第四步：综合取交集 综合左右两侧的条件：

• 左侧要求 $a\ge -2$；
• 右侧要求 $a\le 0$。 故 $a$ 的取值范围是 $[-2,0]$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数图象、导数的几何意义、不等式恒成立。

核心方法：数形结合法。通过图象的直观位置关系确定参数范围，再利用导数进行精确的边界计算。

避坑指南：容易在右侧误选 $a\le 1$。必须注意到对数函数的增长速度远慢于一次函数，这是解决该类动态直线问题的关键逻辑。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：凸函数的割线与切线性质、函数增长速度的比较。

结论推广：对于 $y=\ln (x+1)$，在原点处的切线 $y=x$ 是其著名的放缩不等式 $\ln (x+1)\le x$ 的来源。

方法推广：涉及 $|f(x)|\ge g(x)$ 时，先去掉绝对值符号分段研究，再观察两曲线的相对凹凸性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-04 单-分段函数
• 2015-浙江卷文-12 填-分段函数
• 2015-新课标I卷文-10 单-分段函数