2017-全国卷III理-10 单-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的几何性质，以及直线与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(理)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的左、右顶点分别为 $A_1,A_2$，且以线段 $A_1{A}_2$ 为直径的圆与直线 $bx-ay+2ab=0$ 相切，则 $C$ 的离心率为 ()

A. $\frac{\sqrt{6}}{3}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{6}}{2}$　　　　　　　D. $\frac{1}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定圆的方程：椭圆的左右顶点为 $A_1(-a,0),A_2(a,0)$。以 $A_1{A}_2$ 为直径的圆，其圆心为原点 $(0,0)$，半径 $R=a$。
2. 利用相切条件：圆与直线相切 $\iff$ 圆心到直线的距离 $d$ 等于半径 $R$。
3. 建立 $a,b$ 关系：利用点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，列出关于 $a,b$ 的方程。
4. 求离心率：将 $b^2$ 转化为 $a^2-c^2$，求出 $\frac{c}{a}$ 的值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解： 第一步：分析圆的参数 依题意，椭圆顶点为 $A_1(-a,0),A_2(a,0)$。 以 $A_1{A}_2$ 为直径的圆的圆心为 $(0,0)$，半径 $R=a$。

第二步：利用距离公式列方程 圆 $(0,0)$ 到直线 $bx-ay+2ab=0$ 的距离 $d$ 为： $d=\frac{|b\cdot 0-a\cdot 0+2ab|}{\sqrt{b^2+(-a{)}^2}}=\frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 因为圆与直线相切，所以 $d=R=a$。 $\frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}}=a$

第三步：化简并寻找 $a,b,c$ 的关系 由于 $a>0$，等式两边同时除以 $a$： $\frac{2b}{\sqrt{a^2+b^2}}=1\Rightarrow 2b=\sqrt{a^2+b^2}$ 两边平方得： $4b^2=a^2+b^2\Rightarrow a^2=3b^2$

第四步：计算离心率 $e$ 在椭圆中，$b^2=a^2-c^2$，代入上式： $a^2=3(a^2-c^2)$ $a^2=3a^2-3c^2\Rightarrow 3c^2=2a^2$ $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{2}{3}$ $e=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 几何条件的转化：解析几何中，看到“相切”通常优先考虑 $d=r$（几何法），比联立方程判别式 $\Delta =0$（代数法）计算量更小。
• 离心率的求法：离心率 $e$ 不一定要算出 $a,c$ 的具体值，只要找到 $a,b,c$ 之间的比例关系（齐次式）即可。
• 辅助圆概念：以椭圆长轴为直径的圆称为椭圆的“辅助圆”，本题即是考查辅助圆的性质。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考： 若直线改为 $bx-ay+\sqrt{2}ab=0$，结果会如何？ （计算：$\frac{\sqrt{2}ab}{\sqrt{a^2+b^2}}=a\Rightarrow 2b^2=a^2+b^2\Rightarrow a^2=b^2$。此时 $e=0$，说明椭圆退化为圆，但在题干 $a>b$ 限制下此情况不成立。）

2. 知识链接： 在解析几何大题中，常会出现“以焦半径为直径的圆”或“以长轴为直径的圆”与准线、渐近线的位置关系，处理方法均首选点线距离公式。

3. 易错警示： 计算 $d=\frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 时，分母容易漏掉根号；在最后由 $a^2=3b^2$ 求 $e$ 时，容易把 $b^2$ 误记为 $c^2-a^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷文-20 解-椭圆
• 2023-新高考II卷-05 单-椭圆
• 1952-全国-24 解-由两点求椭圆长短线与焦点