2017-全国卷III理-18 解-分布列

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列。核心在于频率估计概率、分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(理)） 某超市计划按月订购一种酸奶，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的以每瓶 2 元价格处理.需求量 $X$ 与最高气温有关：

• 气温 $\ge 25^{\circ }\text{C}$，需求量 500 瓶；
• $20\le$ 气温 $<25$，需求量 300 瓶；
• 气温 $<20$，需求量 200 瓶.

统计前三年六月份（共 90 天）气温数据如下：

最高气温	$[10,15)$	$[15,20)$	$[20,25)$	$[25,30)$	$[30,35)$	$[35,40)$
天数	2	16	36	25	7	4

(1)求六月份这种酸奶一天需求量 $X$ 的分布列；

(2)设进货量为 $n$（瓶），求利润 $Y$ 的期望 $E(Y)$ 达到最大值时的 $n$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（分布列）：

• 确定 $X$ 的所有可能取值：200, 300, 500。
• 根据气温频数表计算各需求量对应的天数，总天数为 90 天。
• 利用频率估计概率：$P=\frac{\text{天数}}{90}$。

2. 第二问（决策优化）：

• 建立利润函数：利润 = 正常售价收益 + 处理价收益 - 进货成本。
  • 若需求量 $X\ge n$，全部按 6 元卖出，利润 $Y=6n-4n=2n$。
  • 若需求量 $X<n$，卖出 $X$ 瓶，处理 $(n-X)$ 瓶，利润 $Y=6X+2(n-X)-4n=4X-2n$。
• 分段讨论：根据进货量 $n$ 的不同取值范围（通常取需求量的边界值 200, 300, 500），写出 $E(Y)$ 关于 $n$ 的表达式，并比较大小。

✅【答案】

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(1) $X$ 的分布列：$P(X=200)=\frac{1}{5}$，$P(X=300)=\frac{2}{5}$，$P(X=500)=\frac{2}{5}$

(2) 当 $n=300$ 时 $E(Y)$ 最大

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 六月份总天数为 $n_{\text{总}}=2+16+36+25+7+4=90$ 天。

• $X=200$ 时，气温 $<20^{\circ }\text{C}$，对应天数为 $2+16=18$，则 $P(X=200)=\frac{18}{90}=\frac{1}{5}$；
• $X=300$ 时，气温 $\in [20,25)$，对应天数为 $36$，则 $P(X=300)=\frac{36}{90}=\frac{2}{5}$；
• $X=500$ 时，气温 $\ge 25^{\circ }\text{C}$，对应天数为 $25+7+4=36$，则 $P(X=500)=\frac{36}{90}=\frac{2}{5}$。 所以 $X$ 的分布列为：

$X$	200	300	500
$P$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{2}{5}$

(2)解： 由题意，若进货量为 $n$，需求量为 $X$，则利润 $Y=\{\begin{array}{ll}2n,& X\ge n\\ 4X-2n,& X<n\end{array}$。 显然，最优的 $n$ 必在 $\{200,300,500\}$ 中取得。

• 当 $n=200$ 时： 无论需求量是多少，$X\ge 200$ 恒成立，所以 $Y=2\times 200=400$（元）。 故 $E(Y)=400$。

• 当 $n=300$ 时： 若 $X=200$（概率 $1/5$），$Y=4\times 200-2\times 300=200$； 若 $X=300$ 或 $500$（概率 $4/5$），$X\ge 300$，则 $Y=2\times 300=600$。 $E(Y)=200\times \frac{1}{5}+600\times \frac{4}{5}=40+480=520$（元）。

• 当 $n=500$ 时： 若 $X=200$（概率 $1/5$），$Y=4\times 200-2\times 500=-200$； 若 $X=300$（概率 $2/5$），$Y=4\times 300-2\times 500=200$； 若 $X=500$（概率 $2/5$），$Y=2\times 500=1000$。 $E(Y)=(-200)\times \frac{1}{5}+200\times \frac{2}{5}+1000\times \frac{2}{5}=-40+80+400=440$（元）。

比较可知，当进货量 $n=300$ 时，利润的数学期望最大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 实际问题模型化：利润函数的建立是核心。很多同学容易忽略“处理价收益”或“进货成本”，导致公式错误。
• 决策离散化：虽然 $n$ 可以取任意整数，但根据期望值的线性变化规律，极大值一定出现在需求量的可能取值点上，这大大简化了计算。
• 概率与频率：在统计大题中，“以频率代替概率”是标准话术，计算天数比例时需细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷理-18 解-分布列
• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2014-山东卷理-18 解-分布列