2017-全国卷III理-21 解-导数综合

本题导读

本题考查利用导数研究函数的单调性与最值。核心在于分类讨论法、放缩法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(理)） 已知函数 $f(x)=x-1-a\ln x$．

(1)若 $f(x)\ge 0$，求 $a$ 的值；

(2)设 $m$ 为整数，且对于任意正整数 $n$，$(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^2})\cdots (1+\frac{1}{2^n})<m$，求 $m$ 的最小值．

🔍【思路分析】

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1. 第一问（确定参数 $a$）：

• 基础性质：观察到 $f(1)=0$。若要 $f(x)\ge 0$ 恒成立，则 $x=1$ 必须是函数的极小值点（且为最小值点）。
• 导数分析：求导得 $f^{\prime }(x)=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}$。
• 分类讨论：
  • 若 $a\le 0$，函数单调递增，不符；
  • 若 $a>0$，极值点在 $x=a$。为了使最小值在 $x=1$ 处取得，必须令 $a=1$。

2. 第二问（数列不等式与整数最值）：

• 寻找工具：利用第(1)问结论 $x-1-\ln x\ge 0$，即 $\ln x\le x-1$。令 $x=1+t$，得放缩式：$\ln (1+t)<t$（当 $t>0$ 时）。
• 转化乘积为求和：对左侧乘积式取对数，利用放缩式将 $\ln (1+\frac{1}{2^k})$ 放缩为 $\frac{1}{2^k}$。
• 求和估值：利用等比数列求和公式求得对数和的上限，进而推导乘积式的上限。
• 确定 $m$：观察上限值与整数的关系，并代入特殊值验证下限，锁定最小整数 $m$。

✅【答案】

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(1) $a=1$

(2) $m$ 的最小值为 $3$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 函数 $f(x)=x-1-a\ln x$ 的定义域为 $(0,+\infty )$，$f^{\prime }(x)=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}$。 由题意知 $f(1)=1-1-a\ln 1=0$。 ① 若 $a\le 0$，则 $f^{\prime }(x)>0$ 在 $(0,+\infty )$ 上恒成立，$f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。 当 $0<x<1$ 时，$f(x)<f(1)=0$，与 $f(x)\ge 0$ 矛盾。 ② 若 $a>0$，令 $f^{\prime }(x)=0$ 得 $x=a$。 当 $x\in (0,a)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；当 $x\in (a,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增。 此时 $f(x{)}_{\min }=f(a)=a-1-a\ln a$。 若 $f(x)\ge 0$ 恒成立，需 $f(a)\ge 0$。 设 $g(a)=a-1-a\ln a$，则 $g^{\prime }(a)=1-(1\cdot \ln a+a\cdot \frac{1}{a})=-\ln a$。 可见 $g(a)$ 在 $(0,1)$ 上递增，在 $(1,+\infty )$ 上递减，故 $g(a{)}_{\max }=g(1)=0$。 因此，要使 $f(a)\ge 0$ 必须且只需 $a=1$。 综上所述，$a=1$。

(2)解： 由(1)知，当 $a=1$ 时，$x-1\ge \ln x$。令 $x=1+\frac{1}{2^k}$ ($k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$)： 则 $\ln (1+\frac{1}{2^k})<\frac{1}{2^k}$。 对不等式左侧取自然对数： $\ln [(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^2})\cdots (1+\frac{1}{2^n})]=\ln (1+\frac{1}{2})+\ln (1+\frac{1}{2^2})+\cdots +\ln (1+\frac{1}{2^n})$ $<\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^n}=\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^n})}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}<1$。 于是 $(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^2})\cdots (1+\frac{1}{2^n})<e^1\approx 2.718$。 由此可知，若 $m\ge 3$，不等式恒成立。 下面验证 $m=2$ 是否可行： 取 $n=3$，则 $(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{4})(1+\frac{1}{8})=\frac{3}{2}\times \frac{5}{4}\times \frac{9}{8}=\frac{135}{64}\approx 2.109>2$。 所以 $m$ 不能取 2。 由于 $m$ 是整数，满足条件的最小整数 $m=3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 导数与不等式的血缘关系：高考压轴题的第一问通常是第二问的“工具”。本题中 $x-1\ge \ln x$ 是极其经典的放缩模型。
• 乘积式处理技巧：处理数列乘积 $(1+a_1)(1+a_2)\dots$ 的常用方法是取对数变为求和或直接利用 $(1+x)<e^x$。
• 估值的严谨性：求最小值 $m$ 时，不仅要证明上限（即 $m$ 可以是 3），还要举反例说明比 3 小的整数（如 2）不符合要求。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-19 解-导数综合
• 2014-陕西卷文-21 解-导数综合
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