2017-北京卷文-04 单-线性规划

本题导读

考查简单的线性规划问题，通过数形结合求目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(文)） 若 $x,y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x⩽3,\\ x+y⩾2,\\ y⩽x,\end{array}$ 则 $x+2y$ 的最大值为 ()

A. 1　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 5　　　　　　　D. 9

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出由不等式组表示的可行域。
2. 将目标函数 $z=x+2y$ 转化为直线的截距式，通过平移直线在可行域的顶点处取得最值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

作出可行域，边界直线分别为 $x=3$，$x+y=2$，$y=x$。 联立边界求出交点坐标： 交点 A 为 $(3,3)$，交点 B 为 $(3,-1)$，交点 C 为 $(1,1)$。 将三个顶点的坐标代入目标函数 $z=x+2y$： 在点 $(3,3)$ 处， $z=3+2\times 3=9$； 在点 $(3,-1)$ 处， $z=3+2\times (-1)=1$； 在点 $(1,1)$ 处， $z=1+2\times 1=3$。 故最大值为 9。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划求最值。
2. 核心方法：角点检验法。
3. 避坑指南：准确画出可行域，防止漏掉或算错边界交点坐标。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考线性规划常规题。
2. 结论推广: 线性目标函数在闭合多边形可行域的最值总在顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-02 单-线性规划
• 2009-山东卷文-16 填-线性规划
• 2011-大纲卷文-04 单-线性规划