2017-北京卷文-08 单-对数运算

本题导读

考查利用对数性质进行大数阶数估算及指数与对数的综合应用。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(文)） 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 $M$ 约为 $3^{361}$，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 $N$ 约为 $10^{80}$，则下列各数中与 $\frac{M}{N}$ 最接近的是 () (参考数据：$\lg 3\approx 0.48$)

A. $10^{33}$　　　　　B. $10^{53}$　　　　　C. $10^{73}$　　　　　D. $10^{93}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将所求比值 $\frac{M}{N}$ 表示为以10为底的指数形式。
2. 利用对数性质将 $3^{361}$ 转化为 $10$ 的幂次进行估算。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设 $\frac{M}{N}=\frac{3^{361}}{10^{80}}$。 先将分子化为以10为底的指数：设 $3^{361}=10^x$， 则 $x=\lg (3^{361})=361\lg 3$。 已知 $\lg 3\approx 0.48$，则 $x=361\times 0.48=173.28$。 所以 $M=3^{361}\approx 10^{173.28}$。 于是 $\frac{M}{N}\approx \frac{10^{173.28}}{10^{80}}=10^{173.28-80}=10^{93.28}$。 该值与 $10^{93}$ 最接近。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数的运算与指对转化。
2. 核心方法：整体取对数估算阶数。
3. 避坑指南：计算 $361\times 0.48$ 时注意小数乘法的准确性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 结合前沿科技与大数据的应用型对数估算题。
2. 结论推广: 形如 $a^b$ 的数化为以10为底的标准科学计数法形式：$a^b=10^{b\lg a}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-宁夏-06 解-对数运算
• 1977-浙江-02 解-对数运算
• 2013-四川卷文-11 填-对数运算