2017-北京卷文-20 解-导数综合

本题导读

考查导数的几何意义（求切线方程）以及利用导数研究闭区间上超越函数的最值问题，体现微积分的核心思想。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(文)） 已知函数 $f(x)=e^x\cos x-x$.

(1) 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程；

(2) 求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上的最大值和最小值.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：先求出 $f(0)$ 的值，再对函数求导得到导函数 $f^{\prime }(x)$，进而求出在 $x=0$ 处的切线斜率 $k=f^{\prime }(0)$，最后利用点斜式写出切线方程。
2. 第(2)问：对函数求导，分析导函数在区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上的符号或单调性，进而确定原函数的单调区间，比较端点值和极值点即可求出最大值与最小值。

✅【答案】

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(1) $y=1$

(2) 最大值为 $1$，最小值为 $-\frac{\pi }{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $f(x)=e^x\cos x-x$， 所以 $f(0)=e^0\cos 0-0=1\times 1-0=1$。 求导得：$f^{\prime }(x)=(e^x\cos x{)}^{\prime }-(x{)}^{\prime }=e^x\cos x-e^x\sin x-1=e^x(\cos x-\sin x)-1$。 在 $x=0$ 处的切线斜率： $k=f^{\prime }(0)=e^0(\cos 0-\sin 0)-1=1\times (1-0)-1=0$。 因此，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程为： $y-1=0(x-0)$，即 $y=1$。

(2) 由(1)知 $f^{\prime }(x)=e^x(\cos x-\sin x)-1$。 当 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时， 考察导函数 $f^{\prime }(x)$ 的符号： 令 $g(x)=e^x(\cos x-\sin x)-1$，其导数为： $g^{\prime }(x)=e^x(\cos x-\sin x)+e^x(-\sin x-\cos x)=-2e^x\sin x$。 因为当 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 时，$-2e^x\sin x<0$， 所以 $g(x)=f^{\prime }(x)$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调递减。 因此，$f^{\prime }(x)\le f^{\prime }(0)=0$。 具体来说：当 $x=0$ 时，$f^{\prime }(0)=0$； 当 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时，$f^{\prime }(x)<0$。 故函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调递减。 所以， $f(x)$ 在区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上的最大值和最小值分别在端点处取得： 最大值为 $f(0)=e^0\cos 0-0=1$； 最小值为 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=e^{\frac{\pi }{2}}\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)-\frac{\pi }{2}=e^{\frac{\pi }{2}}\times 0-\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义、利用导数求函数最值。
2. 核心方法：二次求导法（或放缩分析导函数单调性）。
3. 避坑指南：在判断 $f^{\prime }(x)$ 符号时，由于 $f^{\prime }(x)$ 依然含有三角函数与指数乘积，需再次求导（即研究导函数的单调性）来确定其符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数与导数压轴题的常规题型，重在考查复合求导与综合放缩。
2. 结论推广: 含有 $e^x$ 与三角函数结合的导数压轴题，通常通过二阶导数判断一阶导数的单调性来突破符号关。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-19 解-导数综合
• 2014-陕西卷文-21 解-导数综合
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