2017-北京卷理-04 单-线性规划

本题导读

本题考查简单的线性规划，以及二元一次不等式组表示的平面区域。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(理)） 若 $x,y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x\le 3\\ x+y\ge 2\\ y\le x\end{array}$，则 $x+2y$ 的最大值为 ()

A. $1$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $5$　　　　　　　D. $9$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出可行域：由三个不等式围成的区域是一个三角形区域。

• $x=3$：垂直于 $x$ 轴的直线，取左侧。
• $x+y=2$：斜率为 $-1$ 的直线，取上方。
• $y=x$：第一象限角平分线，取下方。

2. 分析目标函数：设 $z=x+2y$，变形为 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$。

• 这是一组斜率为 $-\frac{1}{2}$ 的平行直线。
• $z$ 的最大值对应直线在 $y$ 轴上的截距 $\frac{z}{2}$ 最大。

3. 寻找最优解：平移直线 $y=-\frac{1}{2}x$，观察发现当直线经过可行域最右上方的顶点时，$z$ 取得最大值。
4. 求顶点坐标：联立 $x=3$ 与 $y=x$，得到顶点坐标。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D 【解析过程】 作出不等式组表示的可行域，如图所示，是一个以 $A(1,1),B(3,-1),C(3,3)$ 为顶点的三角形区域。 目标函数 $z=x+2y$ 化为 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$。 由图可知，当直线 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$ 经过点 $C(3,3)$ 时，截距 $\frac{z}{2}$ 最大，此时 $z$ 取得最大值。 将 $C(3,3)$ 代入目标函数： $z_{\max }=3+2\times 3=9$。 故选 D


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 一画、二移、三求：

1. 画：准确画出不等式组确定的可行域（注意虚实线，本题带等号全为实线）。
2. 移：平移目标函数对应的直线，找到使截距达到极值的顶点。
3. 求：联立边界方程求出该顶点坐标，代入计算。

• 几何意义：对于 $z=ax+by$ 型，若 $b>0$，则 $z$ 的最值方向与截距一致；若 $b<0$，则 $z$ 的最大值对应截距的最小值。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以对比不同目标函数的处理方式：

• 截距型：$z=ax+by$（平移直线）。
• 斜率型：$z=\frac{y-b}{x-a}$（看作点 $(x,y)$ 与定点 $(a,b)$ 连线的斜率）。
• 距离型：$z=(x-a{)}^2+(y-b{)}^2$（看作点 $(x,y)$ 到定点 $(a,b)$ 距离的平方）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-02 单-线性规划
• 2009-山东卷文-16 填-线性规划
• 2011-大纲卷文-04 单-线性规划