2017-北京卷理-05 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性定义，以及指数函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(理)） 已知函数 $f(x)=3^x-(\frac{1}{3}{)}^x$，则 $f(x)$ ()

A. 是奇函数，且在 $\mathbb{R}$ 上是增函数

B. 是偶函数，且在 $\mathbb{R}$ 上是增函数

C. 是奇函数，且在 $\mathbb{R}$ 上是减函数

D. 是偶函数，且在 $\mathbb{R}$ 上是减函数

🔍【思路分析】

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1. 判断奇偶性：计算 $f(-x)$，观察其与 $f(x)$ 的关系。若 $f(-x)=-f(x)$ 为奇函数；若 $f(-x)=f(x)$ 为偶函数。
2. 判断单调性：

• 观察函数结构：$f(x)=g(x)-h(x)$，其中 $g(x)=3^x$，$h(x)=(\frac{1}{3}{)}^x=3^{-x}$。
• 利用结论：增函数 - 减函数 = 增函数。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A 【解析过程】 第一步：奇偶性验证 因为 $f(x)=3^x-3^{-x}$，其定义域为 $\mathbb{R}$，关于原点对称。 $f(-x)=3^{-x}-3^{-(-x)}=3^{-x}-3^x=-(3^x-3^{-x})=-f(x)$。 所以 $f(x)$ 是奇函数。由此排除 B、D。

第二步：单调性分析 令 $y_1=3^x$，因为底数 $3>1$，所以 $y_1$ 在 $\mathbb{R}$ 上是增函数； 令 $y_2=(\frac{1}{3}{)}^x$，因为底数 $0<\frac{1}{3}<1$，所以 $y_2$ 在 $\mathbb{R}$ 上是减函数。 根据复合函数或函数运算性质，“增函数减去减函数所得的函数仍为增函数”， 所以 $f(x)=y_1-y_2$ 在 $\mathbb{R}$ 上是增函数。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 常见奇函数模型：$f(x)=a^x-a^{-x}$ 是典型的奇函数模型；而 $f(x)=a^x+a^{-x}$ 是典型的偶函数模型。
• 单调性判定技巧：
  • 记住简单组合：增+增=增，减+减=减，增-减=增，减-增=减。
  • 若遇到复杂形式，可求导分析：$f^{\prime }(x)=3^x\ln 3+3^{-x}\ln 3=(3^x+3^{-x})\ln 3$。由于 $3^x+3^{-x}>0$ 且 $\ln 3>0$，故 $f^{\prime }(x)>0$ 恒成立，函数递增。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以对比记录以下两个函数：

1. $f(x)=3^x-3^{-x}$：奇函数，增函数。
2. $f(x)=3^x+3^{-x}$：偶函数，在 $(-\infty ,0)$ 减，在 $(0,+\infty )$ 增（勾指函数类）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-12 填-函数奇偶性
• 2013-四川卷理-14 填-函数奇偶性
• 2013-山东卷理-03 单-函数奇偶性