2013-山东卷理-03 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的性质，以及奇偶性。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(理)） 已知函数 $f(x)$ 为奇函数，且当 $x>0$ 时，$f(x)=x^2+\frac{1}{x}$，则 $f(-1)=$()

A. $-2$　　　　　　　B. $0$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确奇函数定义：若 $f(x)$ 为奇函数，则对于定义域内任意 $x$，均有 $f(-x)=-f(x)$。
2. 转化目标：要求 $f(-1)$，根据性质可知 $f(-1)=-f(1)$。
3. 计算正值：由于已知 $x>0$ 时的解析式，直接将 $x=1$ 代入 $f(x)=x^2+\frac{1}{x}$ 求出 $f(1)$，进而得到最终结果。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用奇函数性质转化。 因为 $f(x)$ 为奇函数， 所以 $f(-1)=-f(1)$。

第二步：计算 $f(1)$ 的值。 已知当 $x>0$ 时，$f(x)=x^2+\frac{1}{x}$， 令 $x=1$，则： $f(1)=1^2+\frac{1}{1}=1+1=2$

第三步：得出结论。 $f(-1)=-f(1)=-2$

故正确答案为：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数的性质 $f(-x)=-f(x)$。

核心方法：通过函数性质在不同自变量取值区间（正负区间）之间进行“架桥”转换。

避坑指南：- 符号错误：容易漏掉奇函数性质中的负号，误选 D。 - 概念混淆：注意偶函数性质为 $f(-x)=f(x)$，若本题为偶函数则选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的偶性、周期性、单调性。

结论推广：若奇函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处有定义，则必有 $f(0)=0$。

方法推广：求解分段函数或具有对称性、周期性函数的值时，核心逻辑均是将“未知区间”的点转化到“已知区间”上处理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2026-上海卷-05 填-函数奇偶性
• 2015-福建卷文-03 单-函数奇偶性
• 2015-广东卷文-03 单-函数奇偶性