2017-北京卷理-08 单-对数运算

本题导读

本题考查对数运算性质，以及数量级估算。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(理)） 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 $M$ 约为 $3^{361}$，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 $N$ 约为 $10^{80}$.则下列各数中与 $\frac{M}{N}$ 最接近的是（参考数据：$\lg 3\approx 0.48$） ()

A. $10^{33}$　　　　　B. $10^{53}$　　　　　C. $10^{73}$　　　　　D. $10^{93}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构建数学模型：设 $x=\frac{M}{N}=\frac{3^{361}}{10^{80}}$。
2. 利用对数工具：由于 $x$ 是一个极大的数，直接计算不现实，应通过取常用对数（$\lg$）来观察其数量级。
3. 代数运算：利用对数的性质 $\lg \frac{a}{b}=\lg a-\lg b$ 和 $\lg a^n=n\lg a$ 进行化简。
4. 估算并对应：算出 $\lg x$ 的大概数值，若 $\lg x\approx k$，则 $x\approx 10^k$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D 【解析过程】 设 $x=\frac{M}{N}=\frac{3^{361}}{10^{80}}$。 两边取常用对数得： $\lg x=\lg \frac{3^{361}}{10^{80}}$ 根据对数的运算法则： $\lg x=\lg 3^{361}-\lg 10^{80}$ $\lg x=361\cdot \lg 3-80$ 代入已知参考数据 $\lg 3\approx 0.48$： $\lg x\approx 361\times 0.48-80$ 进行数值计算： $361\times 0.48=173.28$ $\lg x\approx 173.28-80=93.28$ 由对数的定义可知： $x=10^{\lg x}\approx 10^{93.28}$ 在四个选项中，$10^{93.28}$ 与 $10^{93}$ 最为接近。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 大数处理：处理如 $3^{361}$ 这种天文数字时，取对数是标准动作。它能将指数运算转化为乘法运算，将乘除法转化为加减法。
• 数量级的直观理解：围棋的复杂度远超宇宙原子总数（本题结论接近 $10^{93}$ 倍），这常被用来解释围棋程序的开发难度。
• 计算技巧：在考试中，若计算 $361\times 0.48$ 觉得麻烦，可以近似看作 $360\times 0.5=180$，再微调，帮助快速锁定选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以补充常用的对数估算值：

• $\lg 2\approx 0.3010$
• $\lg 3\approx 0.4771$（本题简化为 0.48）
• $\lg 5=1-\lg 2\approx 0.6990$
• 结论：若 $10^k<X<10^{k+1}$，则 $\lg X$ 的整数部分为 $k$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-宁夏-06 解-对数运算
• 1977-浙江-02 解-对数运算
• 2013-四川卷文-11 填-对数运算