2017-北京卷理-18 解-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的定义与标准方程。核心在于坐标法、联立消元法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(理)） 已知抛物线 $C：y^2=2px$ 过点 $P(1,1)$.过点 $(0,\frac{1}{2})$ 作直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于不同的两点 $M,N$，过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线分别与直线 $OP,ON$ 交于点 $A,B$，其中 $O$ 为原点.

(1)求抛物线 $C$ 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

(2)求证：$A$ 为线段 $BM$ 的中点.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（基础方程）：直接将 $P(1,1)$ 代入 $y^2=2px$ 求出 $p$，进而写出标准方程及几何要素。
2. 第二问（中点证明）：

• 设线联立：设直线 $l$ 的方程为 $y=kx+\frac{1}{2}$（注意斜率存在且不为 0 的讨论），与抛物线联立。
• 坐标表达：
  • $M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$。
  • 直线 $OP$ 方程为 $y=x$。由于 $A$ 在 $OP$ 上且 $x_A=x_1$，故 $A(x_1,x_1)$。
  • 直线 $ON$ 方程为 $y=\frac{y_2}{x_2}x$。由于 $B$ 在 $ON$ 上且 $x_B=x_1$，故 $B(x_1,\frac{y_2}{x_2}{x}_1)$。
• 目标转化：要证 $A$ 是 $BM$ 中点，即证 $2y_A=y_B+y_M$，也就是证明 $2x_1=\frac{y_2{x}_1}{x_2}+y_1$。

✅【答案】

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(1) $y^2=x$，焦点 $\left(\frac{1}{4},0\right)$，准线 $x=-\frac{1}{4}$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 将 $P(1,1)$ 代入 $y^2=2px$ 得 $1^2=2p(1)$，解得 $p=\frac{1}{2}$。 所以抛物线 $C$ 的方程为 $y^2=x$。 其焦点坐标为 $(\frac{1}{4},0)$，准线方程为 $x=-\frac{1}{4}$。

(2)证明： 由题意，设直线 $l$ 的方程为 $y=kx+\frac{1}{2}$ ($k\ne 0$)。 联立 $\{\begin{array}{l}y=kx+\frac{1}{2}\\ y^2=x\end{array}$，消去 $y$ 得：$(kx+\frac{1}{2}{)}^2=x$。 化简整理得：$k^2{x}^2+(k-1)x+\frac{1}{4}=0$。 设 $M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，则有： $x_1+x_2=\frac{1-k}{k^2}$，$x_1{x}_2=\frac{1}{4k^2}$。 由 $P(1,1)$ 知直线 $OP$ 方程为 $y=x$。 因为 $MA\perp x$ 轴，所以 $x_A=x_M=x_1$，点 $A$ 的坐标为 $(x_1,x_1)$。 直线 $ON$ 的方程为 $y=\frac{y_2}{x_2}x$，点 $B$ 的坐标为 $(x_1,\frac{y_2{x}_1}{x_2})$。 要证 $A$ 为线段 $BM$ 的中点，只需证 $y_B+y_M=2y_A$，即证 $\frac{y_2{x}_1}{x_2}+y_1=2x_1$。 等价于证明 $y_2{x}_1+y_1{x}_2=2x_1{x}_2$。 将 $y_1=k{x}_1+\frac{1}{2}$，$y_2=k{x}_2+\frac{1}{2}$ 代入左侧： 左侧 $=(k{x}_2+\frac{1}{2})x_1+(k{x}_1+\frac{1}{2})x_2$ $=k{x}_1{x}_2+\frac{1}{2}{x}_1+k{x}_1{x}_2+\frac{1}{2}{x}_2$ $=2k{x}_1{x}_2+\frac{1}{2}(x_1+x_2)$ 代入韦达定理： $=2k\cdot \frac{1}{4k^2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1-k}{k^2}$ $=\frac{1}{2k}+\frac{1-k}{2k^2}=\frac{k+1-k}{2k^2}=\frac{1}{2k^2}$。 而右侧 $=2x_1{x}_2=2\cdot \frac{1}{4k^2}=\frac{1}{2k^2}$。 因为 左侧 $=$ 右侧，所以 $y_B+y_M=2y_A$ 成立。 故 $A$ 为线段 $BM$ 的中点。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 方程选择：在联立时，本题消去 $y$ 得到关于 $x$ 的方程较为直接。但在处理涉及 $y_1,y_2$ 的表达式时，有时消去 $x$ 得到关于 $y$ 的方程（即 $y^2=x$ 代入直线）计算量会更小。
• 中点转化技巧：证明中点、等分点等关系，统一转化到坐标轴（通常是纵坐标）上的代数等式，是解析几何最稳健的策略。
• 整体代换：在解析最后，直接将韦达定理的结论整体代入，避免求出 $x_1,x_2$ 的具体数值。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结直线与圆锥曲线的“翻译”套路：

1. 共线/中点 $\to$ 坐标间的线性关系（如 $x_1+x_2=2x_0$）。
2. 垂直 $\to$ 斜率乘积为 $-1$ 或 向量数量积为 $0$。
3. 角平分线 $\to$ 相关直线斜率之和为 $0$（当关于轴对称时）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-14 填-抛物线
• 2014-福建卷文-21 解-抛物线
• 2023-新高考II卷-10 多-抛物线