2017-天津卷文-02 单-绝对值不等式

本题导读

考查绝对值不等式的化简及充分必要条件的判定方法。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(文)） 设 $x\in \mathbf{R}$，则“$2-x⩾0$”是“$|x-1|⩽1$”的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分别求解两个不等式，将其转化为集合或区间形式。
2. 判断条件甲能否推出条件乙，以及条件乙能否推出条件甲。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $2-x⩾0$ 解得 $x⩽2$，记为条件 $p$ 对应的集合 $P=(-\infty ,2]$。 由 $|x-1|⩽1$ 解得 $-1⩽x-1⩽1⟹0⩽x⩽2$，记为条件 $q$ 对应的集合 $Q=[0,2]$。 因为 $Q⊊P$， 所以由 $x⩽2$ 推不出 $0⩽x⩽2$（例如 $x=-1$ 满足 $p$ 但不满足 $q$）； 反之，由 $0⩽x⩽2$ 能推出 $x⩽2$。 因此，“$2-x⩾0$”是“| $x-1|⩽1$”的必要而不充分条件。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充要条件、不等式解集包含关系。
2. 核心方法：集合包含关系判断法。
3. 避坑指南：分清“谁是谁的条件”，由条件推结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考逻辑用语常考题。
2. 结论推广: 若集合 $P$ 对应的条件为 $p$，集合 $Q$ 对应的条件为 $q$，若 $Q⊊P$，则 $p$ 是 $q$ 的必要而不充分条件。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-01 填-绝对值不等式
• 2010-新课标卷文-24 解-绝对值不等式
• 2011-新课标卷文-24 解-绝对值不等式