2017-天津卷文-10 填-导数的几何意义

本题导读

考查利用导数求曲线在指定点处的切线方程以及直线在 $y$ 轴上的截距。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(文)） 已知 $a\in \mathbf{R}$，设函数 $f(x)=ax-\ln x$ 的图象在点 $(1,f(1))$ 处的切线为 $l$，则 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 求出切点坐标 $(1,f(1))$，其中 $f(1)=a\cdot 1-\ln 1=a$。
2. 对函数求导得到导函数 $f^{\prime }(x)$，计算在 $x=1$ 处的切线斜率 $k=f^{\prime }(1)$。
3. 利用点斜式写出切线方程 $l$，令 $x=0$ 求出在 $y$ 轴上的截距。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

切点的横坐标为 $x_0=1$，纵坐标为 $f(1)=a(1)-\ln 1=a$，即切点为 $(1,a)$。 求导得：$f^{\prime }(x)=a-\frac{1}{x}$。 切线斜率 $k=f^{\prime }(1)=a-\frac{1}{1}=a-1$。 因此，切线方程 $l$ 为： $y-a=(a-1)(x-1)$， 即 $y=(a-1)x-a+1+a=(a-1)x+1$。 令 $x=0$，得 $y=1$。 故 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为 1。 故答案为：1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义、切线方程与截距。
2. 核心方法：点斜式方程直接求解法。
3. 避坑指南：注意参数 $a$ 在求导和化简过程中最终被消去，说明切线截距为定值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考导数几何意义常规题。
2. 结论推广: 某些含参曲线在特定点的切线方程中参数可能恰好抵消，呈现定值特征。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2023-甲卷文-08 单-导数的几何意义
• 2024-新高考I卷-13 填-导数的几何意义
• 2024-甲卷文-07 单-导数的几何意义