2017-天津卷文-19 解-导数综合

本题导读

考查利用导数求三次函数的单调区间、曲线公切线存在性证明以及含参恒成立问题的最值求解，属于高考数学导数综合压轴大题。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(文)） 设 $a,b\in \mathbf{R}$，$|a|⩽1$. 已知函数 $f(x)=x^3-6x^2-3a(a-4)x+b$，$g(x)=e^{x}f(x)$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间；

(2) 已知函数 $y=g(x)$ 和 $y=e^x$ 的图象在公共点 $(x_0,y_0)$ 处有相同的切线. ① 求证：$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的导数等于 0； ② 若关于 $x$ 的不等式 $g(x)⩽e^x$ 在区间 $[x_0-1,x_0+1]$ 上恒成立，求 $b$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：对 $f(x)$ 求导，利用配方法或因式分解研究导函数符号，结合 $|a|⩽1$ 确定单调区间。
2. 第(2)问①：根据两曲线在公共点处有相同的切线，列出函数值相等且导数值相等的方程组，推导出 $f(x_0)=1$ 且 $f^{\prime }(x_0)=0$。
3. 第(2)问②：将不等式 $g(x)⩽e^x$ 化简为 $f(x)⩽1$（因为 $e^x>0$），结合 $f(x_0)=1$ 及 $f(x)$ 的极值点性质，利用闭区间上的最值在 $[x_0-1,x_0+1]$ 上恒成立求出参数 $b$ 的范围。

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$b$ 的取值范围是 $[-7,-3]$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 函数 $f(x)=x^3-6x^2-3a(a-4)x+b$， 求导得： $f^{\prime }(x)=3x^2-12x-3a(a-4)=3[x^2-4x-a(a-4)]=3(x-a)(x-(4-a))$。 因为 $|a|⩽1$，可得两个根的大小关系： 当 $a<4-a$ 即 $a<2$ 时（显然 $|a|⩽1$ 满足此条件）： 令 $f^{\prime }(x)>0⟹x<a$ 或 $x>4-a$； 令 $f^{\prime }(x)<0⟹a<x<4-a$。 因此，$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,a)$ 和 $(4-a,+\infty )$；单调递减区间为 $(a,4-a)$。

(2) ① 证明： 因为函数 $y=g(x)$ 和 $y=e^x$ 在公共点 $(x_0,y_0)$ 处有相同的切线， 所以在点 $x_0$ 处满足函数值相等且导数值相等： $\{\begin{array}{l}g(x_0)=e^{x_0}\\ g^{\prime }(x_0)=(e^x{)}^{\prime }{|}_{x=x_0}=e^{x_0}\end{array}$ 因为 $g(x)=e^{x}f(x)$，所以其导数为 $g^{\prime }(x)=e^{x}f(x)+e^x{f}^{\prime }(x)=e^x[f(x)+f^{\prime }(x)]$。 代入 $x_0$ 得： $\{\begin{array}{l}{e}^{x_0}f(x_0)=e^{x_0}\\ e^{x_0}[f(x_0)+f^{\prime }(x_0)]=e^{x_0}\end{array}$ 因为 $e^{x_0}>0$，消去 $e^{x_0}$ 得： $\{\begin{array}{l}f(x_0)=1\\ f(x_0)+f^{\prime }(x_0)=1\end{array}$ 将第一个式子代入第二个式子得： $1+f^{\prime }(x_0)=1⟹f^{\prime }(x_0)=0$。 即 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的导数等于 0。

② 求 $b$ 的取值范围： 由①知 $f^{\prime }(x_0)=0$，结合 $f^{\prime }(x)=3(x-a)(x-4+a)=0$， 可知 $x_0$ 只能是极值点，即 $x_0=a$ 或 $x_0=4-a$。 又因为 $|a|⩽1$，当 $x_0=a$ 时，$f(x_0)=f(a)=a^3-6a^2-3a(a-4)a+b=1$， 展开得：$a^3-6a^2-3a^3+12a^2+b=1⟹-2a^3+6a^2+b=1⟹b=2a^3-6a^2+1$。 考虑不等式 $g(x)⩽e^x$ 在区间 $[x_0-1,x_0+1]$ 上恒成立： 因为 $g(x)=e^{x}f(x)$，所以 $e^{x}f(x)⩽e^x$。 因为 $e^x>0$，所以该不等式等价于 $f(x)⩽1$ 在 $[x_0-1,x_0+1]$ 上恒成立。 由于 $x_0$ 是 $f(x)$ 的极大值点（当时 $x_0=a$ 时，由(1)知 $x<a$ 时递增，$x>a$ 递减，$a$ 处取得极大值）， 所以在区间 $[x_0-1,x_0+1]$ 上，函数 $f(x)$ 的最大值即为 $f(x_0)=1$。 因此 $f(x)⩽1$ 恒成立。 当 $x_0=4-a$ 时，同理可求得对应的 $b$ 的取值。 通过对 $a\in [-1,1]$ 求函数 $b=2a^3-6a^2+1$ 的取值范围： 求导得 $b^{\prime }(a)=6a^2-12a=6a(a-2)$，在 $[-1,1]$ 上单调递减， 当 $a=1$ 时，$b=2(1)-6(1)+1=-3$； 当 $a=-1$ 时，$b=2(-1)-6(1)+1=-7$。 综上所述，$b$ 的取值范围是 $[-7,-3]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义、公切线方程、含参函数恒成立与最值。
2. 核心方法：方程联立消元法与闭区间最值控制法。
3. 避坑指南：证明切线相同必须同时满足函数值相等和导数值相等两个条件，切勿遗漏导数相等。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考导数压轴题的标准压轴板块，综合了切线与恒成立。
2. 结论推广: 若两条曲线在某点有公切线，则该点处的函数值与导数值均对应相等。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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