2017-天津卷理-02 单-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划，以及二元一次不等式组表示的平面区域。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(理)） 设变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}2x+y\ge 0\\ x+2y-2\ge 0\\ x\le 0\\ y\le 3\end{array}$，则目标函数 $z=x+y$ 的最大值为 ()

A. $\frac{2}{3}$　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. $\frac{3}{2}$　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出可行域：在平面直角坐标系中，依次画出四条直线 $2x+y=0,x+2y-2=0,x=0,y=3$，并根据不等号方向确定公共区域。
2. 分析目标函数：目标函数 $z=x+y$ 可化为 $y=-x+z$。这表示一组斜率为 $-1$ 的平行直线，$z$ 是直线在 $y$ 轴上的截距。
3. 寻找最值点：平移直线 $y=-x+z$，使其经过可行域。当直线经过可行域中“最右上方”的顶点时，$z$ 取得最大值。
4. 计算顶点坐标：解方程组求出关键顶点的坐标，代入 $z$ 进行比较。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D 【解析过程】

1. 确定可行域：

• 不等式 $x\le 0$ 表示 $y$ 轴及其左侧；
• 不等式 $y\le 3$ 表示直线 $y=3$ 及其下方；
• 联立 $2x+y=0$ 与 $x+2y-2=0$ 可求得交点为 $(\frac{2}{3},\frac{4}{3})$，但由于 $x\le 0$，该交点不在可行域内。
• 可行域的顶点包括：
  • 直线 $x=0$ 与 $x+2y-2=0$ 的交点 $A(0,1)$；
  • 直线 $x=0$ 与 $y=3$ 的交点 $B(0,3)$；
  • 直线 $y=3$ 与 $2x+y=0$ 的交点 $C(-\frac{3}{2},3)$。

2. 代入顶点计算 $z$ 值：

• 在点 $A(0,1)$ 处，$z=0+1=1$；
• 在点 $B(0,3)$ 处，$z=0+3=3$；
• 在点 $C(-\frac{3}{2},3)$ 处，$z=-\frac{3}{2}+3=1.5$。

3. 比较最值： 显然，在点 $B(0,3)$ 处，$z$ 取得最大值 3。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 数形结合：线性规划的核心是“以形助数”。准确画图能直接排除错误选项。
• 顶点法则：线性目标函数的最值通常在可行域的顶点（或边界线段）处取得。
• 易错点：注意 $x\le 0$ 这个限制条件，不要习惯性地在第一象限找区域。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若要求 $z=x+y$ 的最小值，结果是多少？（提示：在点 $A(0,1)$ 处取得最小值 1）。
2. 知识关联：若目标函数是非线性的，如 $z=x^2+y^2$，则考查的是可行域内的点到原点距离的平方。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-02 单-线性规划
• 2009-山东卷文-16 填-线性规划
• 2011-大纲卷文-04 单-线性规划