2017-天津卷理-06 单-函数性质

本题导读

本题考查函数的奇偶性与单调性，以及构造函数法。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(理)） 已知奇函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上是增函数，$g(x)=xf(x)$.若 $a=g(-{\log }_{2}5.1)$，$b=g(2^{0.8})$，$c=g(3)$，则 $a,b,c$ 的大小关系为 ()

A. $a<b<c$　　B. $c<b<a$　　C. $b<a<c$　　D. $b<c<a$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 $g(x)$ 的奇偶性：

• 因为 $f(x)$ 是奇函数，则 $f(-x)=-f(x)$。
• $g(-x)=(-x)f(-x)=(-x)[-f(x)]=xf(x)=g(x)$。
• 所以 $g(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的偶函数。由此得 $a=g(-{\log }_{2}5.1)=g({\log }_{2}5.1)$。

2. 分析 $g(x)$ 的单调性：

• 因为 $f(x)$ 是奇函数且在 $\mathbb{R}$ 上递增，由 $f(0)=0$ 知：当 $x>0$ 时，$f(x)>0$。
• 当 $x>0$ 时，$g(x)=x\cdot f(x)$，两个正的增函数相乘，其积 $g(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上也是增函数。

3. 比较自变量的大小（统一到正半轴）：

• 自变量分别为：$x_a={\log }_{2}5.1$，$x_b=2^{0.8}$，$x_c=3$。
• 估值：
  • $2<{\log }_{2}4<{\log }_{2}5.1<{\log }_{2}8=3⟹2<x_a<3$。
  • $2^0<2^{0.8}<2^1⟹1<x_b<2$。
  • $x_c=3$。

4. 得出结论：由 $1<x_b<2<x_a<3$ 及 $g(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 递增，得 $g(x_b)<g(x_a)<g(x_c)$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C 【解析过程】

1. 判定 $g(x)$ 性质： 由 $f(x)$ 为奇函数知 $f(-x)=-f(x)$。 则 $g(-x)=(-x)f(-x)=xf(x)=g(x)$，故 $g(x)$ 为偶函数。 当 $x>0$ 时，$x$ 为增函数，$f(x)$ 为正的增函数，故 $g(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上递增。
2. 转化并估值：

• $a=g(-{\log }_{2}5.1)=g({\log }_{2}5.1)$。由于 $2={\log }_{2}4<{\log }_{2}5.1<{\log }_{2}8=3$，故 $2<{\log }_{2}5.1<3$。
• $b=g(2^{0.8})$。由于 $1=2^0<2^{0.8}<2^1=2$，故 $1<2^{0.8}<2$。
• $c=g(3)$。

3. 比较大小： 在区间 $(0,+\infty )$ 上，$2^{0.8}<{\log }_{2}5.1<3$。 由于 $g(x)$ 在该区间内单调递增， 所以 $g(2^{0.8})<g({\log }_{2}5.1)<g(3)$，即 $b<a<c$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 构造函数的性质：$x\cdot f(x)$ 的型式常用于考查奇偶性的转化（奇 $\times$ 奇 = 偶）。
• 比较大小策略：

1. 利用奇偶性将自变量绝对值化（全部转到同一个单调区间）。
2. 利用中间值（如 0, 1, 2, 3 等）对指数、对数进行估值。

• 本题的关键在于通过 $f(x)$ 的增减性和正负号判断出 $g(x)$ 在正半轴的单调性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若 $f(x)$ 是偶函数且在 $\mathbb{R}$ 上递增，那么 $g(x)=xf(x)$ 的奇偶性如何？（提示：变为奇函数）。
2. 知识关联：本题考查了复合性质的推导，是导数应用题（利用导数正负判断原函数单调性）的简化版模型。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-04 单-函数性质
• 2015-新课标II卷文-12 单-函数性质
• 2019-江苏卷-14 填-函数性质