2015-新课标II卷文-12 单-函数性质

本题导读

抽象函数不等式。先认出 $f(x)$ 是偶函数且在 $[0,+\infty )$ 上递增，于是 $f(x)>f(2x-1)$ 直接等价于 $|x|>|2x-1|$，一个一元二次不等式收口。

📌【题干】

Question

（2015年新课标II卷(文)） 设函数 $f(x)=\ln (1+|x|)-\frac{1}{1+x^2}$，则使得 $f(x)>f(2x-1)$ 成立的 $x$ 的取值范围是 ()

A. $\left(\frac{1}{3},1\right)$　　B. $\left(-\infty ,\frac{1}{3}\right)\cup (1,+\infty )$　　C. $\left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$　　D. $\left(-\infty ,-\frac{1}{3}\right)\cup \left(\frac{1}{3},+\infty \right)$

🔍【思路分析】

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1. 判奇偶：$f(-x)=f(x)$，是偶函数。
2. 判单调：$x⩾0$ 时 $\ln (1+x)$ 递增，$-\frac{1}{1+x^2}$ 也随 $x$ 增大而增大，故 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上递增。
3. 脱去 $f$：$f(x)>f(2x-1)⟺|x|>|2x-1|$，两边平方解一元二次不等式。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

先判断 $f$ 的性质。因为

$f(-x)=\ln (1+|-x|)-\frac{1}{1+(-x{)}^2}=\ln (1+|x|)-\frac{1}{1+x^2}=f(x),$

所以 $f(x)$ 是偶函数。又当 $x⩾0$ 时，$1+x$ 增大使 $\ln (1+x)$ 递增，同时 $1+x^2$ 增大使 $\frac{1}{1+x^2}$ 减小、从而 $-\frac{1}{1+x^2}$ 增大，故 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递增。

于是

$f(x)>f(2x-1)⟺|x|>|2x-1|.$

两边平方（均为非负）：

$x^2>(2x-1{)}^2⟺x^2>4x^2-4x+1⟺3x^2-4x+1<0⟺(3x-1)(x-1)<0.$

解得 $\frac{1}{3}<x<1$，即 $x\in \left(\frac{1}{3},1\right)$.

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数的奇偶性与单调性；偶函数不等式的等价转化；含绝对值不等式的解法。

2. 核心方法：“偶函数 $+$ 在 $[0,+\infty )$ 上递增”是不等式的”脱壳器”：$f(u)>f(v)⟺|u|>|v|$，把函数不等式一步变成绝对值不等式。

3. 避坑指南：① 若 $f$ 只在 $[0,+\infty )$ 上递增（不是在整个定义域上递增），必须先取绝对值再比较，不能直接写 $x>2x-1$；② 平方前确认两边非负，本题绝对值恒非负、可放心平方。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：“由 $f(x)$ 与 $f(2x-1)$ 的大小反解 $x$“是抽象函数不等式的标准题型，2015 年新课标Ⅱ理科卷第 12 题（同题号）也考函数性质与不等式转化。

2. 结论推广: 若 $f$ 改为奇函数且在 $\mathbb{R}$ 上递增，则 $f(u)>f(v)⟺u>v$，无需绝对值——奇偶性决定要不要取绝对值，这是这类题唯一的分岔口。

3. 方法推广: 抽象函数不等式三步：① 判奇偶性（定”要不要加绝对值”）；② 判单调性（定”能否脱去 $f$”）；③ 脱去 $f$ 后解代数不等式。若解析式中同时出现 $|x|$ 与 $x^2$，几乎一定是偶函数的信号。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-12 单-导数综合
• 2014-新课标II卷理-15 填-偶函数定义与性质