2017-天津卷理-16 解-分布列

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列。核心在于列举法、公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(理)） （本小题满分 13 分）从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}$.

(1)设 $X$ 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（分布列与期望）：

• 确定取值：$X$ 表示红灯个数，总共 3 个路口，所以 $X$ 可能的取值为 $0,1,2,3$。
• 计算概率：各路口信号灯独立，利用独立事件的概率乘法公式计算。注意“恰好遇到 $n$ 个红灯”需考虑哪些路口红、哪些路口绿的所有组合。
• 求期望：利用公式 $E(X)={\sum }_{i=1}^n{x}_i{p}_i$ 计算。

2. 第二问（组合概率）：

• 设第一辆车遇到红灯数为 $Y$，第二辆车为 $Z$。
• “两车共遇到 1 个红灯”是一个并事件：即 $(Y=0\text{ 且 }Z=1)$ 或者 $(Y=1\text{ 且 }Z=0)$。
• 利用(1)中算出的 $P(X=0)$ 和 $P(X=1)$ 进行代入计算。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解： (1)随机变量 $X$ 的所有可能取值为 $0,1,2,3$。 设在三个路口遇到红灯的事件分别为 $A,B,C$，则 $P(A)=\frac{1}{2},P(B)=\frac{1}{3},P(C)=\frac{1}{4}$。 $P(X=0)=P(\bar{A}\bar{B}\bar{C})=(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{1}{4}$；

$P(X=1)=P(A\bar{B}\bar{C})+P(\bar{A}B\bar{C})+P(\bar{A}\bar{B}C)$ $=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{3}{4}+\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{3}{4}+\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{6+3+2}{24}=\frac{11}{24}$；

$P(X=2)=P(AB\bar{C})+P(A\bar{B}C)+P(\bar{A}BC)$ $=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{3}{4}+\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{3+2+1}{24}=\frac{1}{4}$；

$P(X=3)=P(ABC)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{24}$。

所以，随机变量 $X$ 的分布列为：

$X$	0	1	2	3
$P$	$\frac{1}{4}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{24}$

数学期望 $E(X)=0\times \frac{1}{4}+1\times \frac{11}{24}+2\times \frac{1}{4}+3\times \frac{1}{24}=\frac{11}{24}+\frac{12}{24}+\frac{3}{24}=\frac{26}{24}=\frac{13}{12}$。

(2)设 $Y$ 表示第一辆车遇到红灯的个数，$Z$ 表示第二辆车遇到红灯的个数。 则所求事件的概率为： $P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)$ $=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)$ $=\frac{1}{4}\times \frac{11}{24}+\frac{11}{24}\times \frac{1}{4}=\frac{11}{48}$。 所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 $\frac{11}{48}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 分布列自检：分布列中所有概率之和必须等于 1（即 $\frac{6}{24}+\frac{11}{24}+\frac{6}{24}+\frac{1}{24}=1$），这是检查计算是否出错的关键。
• 独立性前提：本题的关键在于“独立”。信号灯独立决定了路口概率相乘，车辆独立决定了两车概率相乘。
• 在(2)问中，很多同学容易漏掉对称的情况（即只算了一辆车遇红灯的情况，没乘 2），要注意“共遇到 1 个”并不指定是哪辆车遇到。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷理-18 解-分布列
• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2014-山东卷理-18 解-分布列