2017-山东卷文-03 单-线性规划

本题导读

考查线性规划求目标函数最大值的问题，通过数形结合求解。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(文)） 已知 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-2y+5⩽0,\\ x+3⩾0,\\ y⩽2,\end{array}$ 则 $z=x+2y$ 的最大值是 ()

A. $-3$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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1. 根据约束条件画出平面区域（可行域）。
2. 将目标函数 $z=x+2y$ 转化为斜截式，平移直线在顶点处取得最值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

作出不等式组表示的可行域： 边界直线分别为 $x-2y+5=0$，$x=-3$，$y=2$。 联立边界求交点： 直线 $x=-3$ 与 $y=2$ 的交点为 $(-3,2)$； 直线 $x-2y+5=0$ 与 $y=2$ 的交点：代入得 $x-4+5=0⟹x=-1$，即 $(-1,2)$； 直线 $x-2y+5=0$ 与 $x=-3$ 的交点：代入得 $-3-2y+5=0⟹y=1$，即 $(-3,1)$。 将三个顶点坐标代入目标函数 $z=x+2y$： 在点 $(-3,2)$ 处：$z=-3+2(2)=1$； 在点 $(-1,2)$ 处：$z=-1+2(2)=3$； 在点 $(-3,1)$ 处：$z=-3+2(1)=-1$。 故最大值为 3。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划最优解。
2. 核心方法：角点检验法。
3. 避坑指南：准确作图并计算交点坐标，防止漏掉可行域边界。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考线性规划常规题。
2. 结论推广: 目标函数在线性约束条件下的极值必在多边形顶点的交点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-02 单-线性规划
• 2009-山东卷文-16 填-线性规划
• 2011-大纲卷文-04 单-线性规划