2017-山东卷文-14 填-函数性质

本题导读

考查抽象函数的奇偶性与周期性的综合运用，通过周期将大自变量转化到已知区间上求值。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(文)） 已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，且 $f(x+4)=f(x-2)$.若当 $x\in [-3,0]$ 时，$f(x)=6^{-x}$，则 $f(919)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 根据递推关系式 $f(x+4)=f(x-2)$，推导函数的周期：将 $x$ 替换为 $x+2$，得 $f(x+6)=f(x)$，说明函数的周期 $T=6$。
2. 利用周期性将自变量 $919$ 化简：$919=153\times 6+1$，故 $f(919)=f(1)$。
3. 结合偶函数的性质 $f(-x)=f(x)$，将 $f(1)$ 转化为已知区间 $[-3,0]$ 上的函数值进行计算。

✅【答案】

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6

✍【详细解析】

Abstract

由已知条件 $f(x+4)=f(x-2)$， 将其中的 $x$ 换为 $x+2$，可得 $f(x+6)=f(x)$， 因此函数 $f(x)$ 是以 $T=6$ 为周期的周期函数。 于是 $f(919)=f(153\times 6+1)=f(1)$。 因为 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数， 所以 $f(1)=f(-1)$。 因为 $-1\in [-3,0]$，且当 $x\in [-3,0]$ 时，$f(x)=6^{-x}$， 所以 $f(-1)=6^{-(-1)}=6^1=6$。 故 $f(919)=6$。 故答案为：6。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数周期性的推导与偶函数性质应用。
2. 核心方法：降阶取余法与奇偶性转化法。
3. 避坑指南：通过 $f(x+a)=f(x-b)$ 确定周期时，周期一般为两点横坐标差的绝对值，即 $T=|(a)-(-b)|=a+b$（本题中相当于 $f(x+6)=f(x)$，周期为 6）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数性质综合压轴填空题。
2. 结论推广: 若 $f(x+a)=f(x-b)$，则函数的周期 $T=a+b$；若函数图像关于两直线对称，其周期亦可相应推导。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-04 单-函数性质
• 2015-新课标II卷文-12 单-函数性质
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