2017-山东卷文-20 解-导数综合

本题导读

考查利用导数求曲线切线方程以及含参函数的单调性讨论与极值判定，属于高考导数综合压轴题。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(文)） 已知函数 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}a{x}^2,a\in \mathbf{R}$.

(1) 当 $a=2$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(3,f(3))$ 处的切线方程；

(2) 设函数 $g(x)=f(x)+(x-a)\cos x-\sin x$，讨论 $g(x)$ 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：将 $a=2$ 代入函数，求出 $f(3)$ 及导函数在 $x=3$ 处的斜率，利用点斜式写出切线方程。
2. 第(2)问：写出 $g(x)$ 的表达式并求导，对导函数进行因式分解或凑微分变形，化为 $(x-a)(x^2-\sin x)$ 或类似形式，根据参数 $a$ 的取值分类讨论单调性，进而确定极值。

✅【答案】

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第（1）问切线方程为3𝑥−𝑦−9=0.第（2）问：当𝑎<0时，𝑔(𝑥)在(−∞,𝑎)，(𝑎,0)，(0,+∞)上分别单调递增、递减、递增，极大值为−16𝑎3−sin𝑎，极小值为−𝑎；当𝑎=0时，𝑔(𝑥)在𝐑上单调递增，无极值；当𝑎>0时，𝑔(𝑥)在(−∞,0)，(0,𝑎)，(𝑎,+∞)上

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $a=2$ 时，$f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-x^2$。 计算切点纵坐标：$f(3)=\frac{1}{3}(3^3)-3^2=9-9=0$，故切点为 $(3,0)$。 求导得：$f^{\prime }(x)=x^2-2x$。 在点 $(3,f(3))$ 处的切线斜率： $k=f^{\prime }(3)=3^2-2(3)=9-6=3$。 因此，切线方程为： $y-0=3(x-3)$，即 $3x-y-9=0$。

(2) 因为 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}a{x}^2$， 所以 $g(x)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}a{x}^2+(x-a)\cos x-\sin x$。 求导得： $g^{\prime }(x)=x^2-ax+\cos x+(x-a)(-\sin x)-\cos x$ $=x^2-ax+(x-a)(-\sin x)$ $=(x-a)(x-\sin x)$。 令 $h(x)=x-\sin x$，其导数为 $h^{\prime }(x)=1-\cos x\ge 0$ 恒成立， 所以 $h(x)=x-\sin x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增。 当 $x=0$ 时，$h(0)=0$； 当 $x>0$ 时，$h(x)>0$；当 $x<0$ 时，$h(x)<0$。 分情况讨论 $g^{\prime }(x)=(x-a)(x-\sin x)$ 的符号： ① 当 $a=0$ 时，$g^{\prime }(x)=x(x-\sin x)$。 当 $x\ne 0$ 时，$g^{\prime }(x)>0$ 恒成立。 此时函数 $g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，无极值。 ② 当 $a>0$ 时： 当 $x\in (-\infty ,0)\cup (a,+\infty )$ 时，$g^{\prime }(x)>0$； 当 $x\in (0,a)$ 时，$g^{\prime }(x)<0$。 此时 $g(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 和 $(a,+\infty )$ 上单调递增，在 $(0,a)$ 上单调递减。 极值情况：在 $x=0$ 处取得极大值，极大值为 $g(0)=-a$；在 $x=a$ 处取得极小值，极小值为 $g(a)=\frac{1}{3}{a}^3-\frac{1}{2}{a}^3-\sin a=-\frac{1}{6}{a}^3-\sin a$。 ③ 当 $a<0$ 时： 当 $x\in (a,0)$ 时，$g^{\prime }(x)<0$； 当 $x\in (-\infty ,a)\cup (0,+\infty )$ 时，$g^{\prime }(x)>0$。 此时 $g(x)$ 在 $(a,0)$ 上单调递减，在 $(-\infty ,a)$ 和 $(0,+\infty )$ 上单调递增。 极值情况：在 $x=a$ 处取得极大值，极大值为 $g(a)=-\frac{1}{6}{a}^3-\sin a$；在 $x=0$ 处取得极小值，极小值为 $g(0)=-a$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数几何意义、利用导数研究含参函数的单调性与极值。
2. 核心方法：因式分解法与辅助函数符号判定法。
3. 避坑指南：求导后注意将含有三角函数的项通过凑项或提公因式化为 $(x-a)(x-\sin x)$ 的乘积形式，再借助 $x-\sin x$ 的单调性判定符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考导数压轴题的标准题型，结合了代数多项式与超越函数。
2. 结论推广: 形如 $x-\sin x$ 的函数单调性是处理含三角函数导数题的重要基础工具。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-19 解-导数综合
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