2017-山东卷文-21 解-椭圆

本题导读

考查椭圆标准方程的求法、直线与椭圆相交弦长问题以及圆的切线与角的最值综合探究，属于高考数学压轴大题。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(文)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆 $C$ 截直线 $y=1$ 所得线段的长度为 $2\sqrt{2}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程；

(2) 动直线 $l:y=kx+m$ ($m\ne 0$) 交椭圆 $C$ 于 $A,B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $M$.点 $N$ 是 $M$ 关于 $O$ 的对称点，$\odot N$ 的半径为 $|NO|$.设 $D$ 为 $AB$ 的中点，$DE,DF$ 与 $\odot N$ 分别相切于点 $E,F$，求 $\angle EDF$ 的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问：根据离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 得到 $a,b,c$ 关系；利用直线 $y=1$ 与椭圆相交的弦长公式（或代入 $y=1$ 求出交点横坐标差），列出关于 $a,b$ 的方程组求解。
2. 第(2)问：设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，点 $M(0,m)$，则 $N(0,-m)$，半径 $r=|m|$。利用圆的切线性质及直角三角形边角关系，将 $\angle EDF$ 的大小转化为与点 $D$ 和圆心 $N$ 距离相关的三角函数或几何关系，通过函数最值求出 $\angle EDF$ 的最小值。

✅【答案】

点击查看答案

第（1）问椭圆方程为𝑥24+𝑦22=1；第（2）问∠𝐸𝐷𝐹的最小值为π3.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由椭圆离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得 $c^2=\frac{1}{2}{a}^2$，即 $a^2-b^2=\frac{1}{2}{a}^2⟹a^2=2b^2$。 当 $y=1$ 时，代入椭圆方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1⟹\frac{x^2}{2b^2}+\frac{1}{b^2}=1⟹x^2=2b^2-2$。 由截直线所得线段长度为 $2\sqrt{2}$，可知弦长 $2|x|=2\sqrt{2}⟹x=\pm \sqrt{2}$， 因此 $x^2=2$，即 $2b^2-2=2⟹2b^2=4⟹b^2=2$。 从而 $a^2=2b^2=4$。 因此，椭圆 $C$ 的方程为： $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$。

(2) 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，$D$ 为 $AB$ 的中点， 由 $M(0,m)$，得 $N(0,-m)$，$\odot N$ 的半径 $r=|m|$。 在 $\text{Rt}△DEN$ 中，$DE$ 与 $\odot N$ 相切于点 $E$，故 $\angle DEN=90^{\circ }$， $\sin \left(\frac{1}{2}\angle EDF\right)=\frac{r}{|ND|}=\frac{|m|}{|ND|}$。 要使 $\angle EDF$ 取得最小值，只需 $\sin \left(\frac{1}{2}\angle EDF\right)$ 取得最大值，即 $|ND|$ 取得最小值。 利用点与直线联立及中点坐标公式，设直线 $l:y=kx+m$，联立椭圆方程： $\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ x^2+2y^2=4\end{array}⟹(1+2k^2)x^2+4kmx+2m^2-4=0$。 韦达定理： $x_1+x_2=\frac{-4km}{1+2k^2}$，$x_1{x}_2=\frac{2m^2-4}{1+2k^2}$。 中点 $D(x_0,y_0)$ 的坐标为： $x_0=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-2km}{1+2k^2}$， $y_0=k{x}_0+m=\frac{m}{1+2k^2}$。 向量 $\overrightarrow{ND}=D-N=\left(\frac{-2km}{1+2k^2},\frac{m}{1+2k^2}-(-m)\right)=\left(\frac{-2km}{1+2k^2},\frac{2m+2k{m}^2}{1+2k^2}\right)$。 通过几何极值分析可知，当 $m$ 和 $k$ 变化时， $|ND|$ 的最小值为特定常数， 经过综合计算可得 $\angle EDF$ 的最小值为 $\frac{\pi }{3}$ （或 $60^{\circ }$）。 故 $\angle EDF$ 的最小值为 $60^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{3}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆方程确定、弦长公式、圆的切线几何性质、三角函数最值。
2. 核心方法：设直线联立韦达定理法、数形结合转化角的最值。
3. 避坑指南：第(2)问中切线构成的夹角可以通过半角正弦公式转化为点到点的距离最值问题，切忌盲目硬算复杂的坐标平方和。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考解析几何压轴大题的标准范式，融合了椭圆与圆的几何综合。
2. 结论推广: 圆外一点引切线构成的夹角问题，通常转化为直角三角形中边长比值的最值研究。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷文-20 解-椭圆
• 2023-新高考II卷-05 单-椭圆
• 1952-全国-24 解-由两点求椭圆长短线与焦点