2017-山东卷理-04 单-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划，以及线性目标函数最大值的求解。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(理)） 已知 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y+3\le 0\\ 3x+y+5\le 0\\ x+3\ge 0\end{array}$，则 $z=x+2y$ 的最大值是 ()

A. $0$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $5$　　　　　　　D. $6$

🔍【思路分析】

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1. 画出三条约束直线，确定可行域（三角形区域）。
2. 求出可行域各顶点坐标。
3. 将顶点代入目标函数 $z=x+2y$，比较得出最大值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y+3\le 0\\ 3x+y+5\le 0\\ x+3\ge 0\end{array}$，即 $\{\begin{array}{l}y\ge x+3\\ y\le -3x-5\\ x\ge -3\end{array}$。 联立边界求顶点：

• $x=-3$ 与 $y=x+3$ 交于 $(-3,0)$；
• $x=-3$ 与 $y=-3x-5$ 交于 $(-3,4)$；
• $y=x+3$ 与 $y=-3x-5$ 交于 $x+3=-3x-5$，得 $x=-2$，$y=1$，交点为 $(-2,1)$。 可行域顶点为 $(-3,0)$、$(-3,4)$、$(-2,1)$。 代入 $z=x+2y$：
• $(-3,0)$：$z=-3$；
• $(-3,4)$：$z=-3+8=5$；
• $(-2,1)$：$z=-2+2=0$。 所以 $z$ 的最大值为 $5$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划可行域、线性目标函数最值。
2. 核心方法：图解法 + 顶点代入。
3. 避坑指南：注意 $3x+y+5\le 0$ 即 $y\le -3x-5$，可行域在直线下方，勿画反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考线性规划常规题。
2. 结论推广：线性目标函数的最值必在可行域顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-02 单-线性规划
• 2009-山东卷文-16 填-线性规划
• 2011-大纲卷文-04 单-线性规划