2017-山东卷理-11 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(理)） 已知 $(1+3x{)}^n$ 的展开式中含有 $x^2$ 项的系数是 54，则 $n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 写出通项公式：利用二项展开式的通项公式 $T_{r+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)a^{n-r}{b}^r$。
2. 定位特定项：令 $x$ 的指数等于 2，确定 $r$ 的值。
3. 建立方程：根据“系数为 54”列出关于 $n$ 的组合数方程。
4. 求解 $n$：利用组合数展开式求解，注意 $n$ 必须为大于等于 2 的正整数。

✅【答案】

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4

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 4 【解析过程】 二项式 $(1+3x{)}^n$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)\cdot 1^{n-r}\cdot (3x{)}^r=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})\cdot 3^r\cdot x^r$ 令 $r=2$，则 $x^2$ 项的系数为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\cdot 3^2$。 由题意知该系数为 54，得： $9\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=54$ 化简得： $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=6$ 根据组合数公式 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=\frac{n(n-1)}{2\times 1}$： $\frac{n(n-1)}{2}=6$ $n^2-n-12=0$ 解得 $(n-4)(n+3)=0$。 因为 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 且 $n\ge 2$， 所以 $n=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心公式：$T_{r+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)a^{n-r}{b}^r$。注意区分“二项式系数”（即 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)$）与“项的系数”（包含 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)$ 及系数的幂）。
• 易错点：
  • 漏掉 $3^r$ 中的幂次，误写成 $3\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=54$。
  • 计算 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)$ 时出错。
• 此类题目通常作为填空题的第一、二题出现，属于必拿分。解题时先写通项，再找 $r$，最后列方程，稳扎稳打即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若题目改为“展开式中各项系数之和为 64”，应如何处理？（令 $x=1$，得 $(1+3{)}^n=4^n=64\Rightarrow n=3$）。
2. 知识关联：如果 $n=4$，该展开式中二项式系数最大的项是哪一项？（第 3 项，$T_3$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2004-湖北文-14 填-二项式定理
• 2004-福建文-09 单-二项式定理
• 2013-大纲卷文-05 单-二项式定理