2013-大纲卷文-05 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(文)） $(x+2{)}^8$ 的展开式中 $x^6$ 的系数是()

A. $28$　　　　　　B. $56$　　　　　　C. $112$　　　　　　D. $224$

🔍【思路分析】

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1. 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_8^k{x}^{8-k}{2}^k$。
2. 令 $8-k=6$ 得 $k=2$。
3. 系数 $={\mathrm{C}}_8^2\cdot 2^2$。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

$(x+2{)}^8$ 的通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_8^k{x}^{8-k}\cdot 2^k.$ 令 $x$ 的指数 $8-k=6$，得 $k=2$。故含 $x^6$ 的项为 ${\mathrm{C}}_8^2{x}^6\cdot 2^2=28\times 4x^6=112x^6,$ 所以 $x^6$ 的系数为 $112$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理（特定项的系数）

核心方法：通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_8^k{x}^{8-k}{2}^k$，令 $8-k=6$ 定 $k$

避坑指南：$x^6$ 对应 $8-k=6$ 即 $k=2$，系数是 ${\mathrm{C}}_8^2\cdot 2^2=28\times 4$——常数因子 $2^k$ 别漏乘。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式定理（全国卷常考小题）。

结论推广：$(x+a{)}^n$ 的通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k{x}^{n-k}{a}^k$。

方法推广：求特定项系数三步：写通项 → 令 $x$ 的指数等于目标值定 $k$ → 代入计算组合数与幂。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-13 填-二项式定理系数
• 2014-大纲卷理-13 填-二项式展开式通项