2017-山东卷理-21 解-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与离心率。核心在于联立方程法、换元法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(理)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，焦距为 2.

(1)求椭圆 $E$ 的方程；

(2)如图，动直线 $l:y=k_{1}x-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 交椭圆 $E$ 于 $A,B$ 两点，$C$ 是椭圆 $E$ 上一点，直线 $OC$ 的斜率为 $k_2$，且 $k_1{k}_2=\frac{\sqrt{2}}{4}$.$M$ 是线段 $OC$ 延长线上一点，且 $|MC|:|AB|=2:3$.$\odot M$ 的半径为 $|MC|$，$OS,OT$ 是 $\odot M$ 的两条切线，切点分别为 $S,T$.求 $\angle SOT$ 的最大值，并求取得最大值时直线 $l$ 的斜率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：已知 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$2c=2\Rightarrow c=1$。由此求得 $a,b$，写出方程。
2. 第二问（逻辑链条）：

• 联立求 $|AB|$：将直线 $l$ 与椭圆方程联立，利用韦达定理和弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+k_1^2}|x_1-x_2|$ 表达出 $|AB|$ 关于 $k_1$ 的式子。
• 确定 $\odot M$ 半径 $r$：由题意 $r=|MC|=\frac{2}{3}|AB|$。
• 联立求 $|OC|$：直线 $OC$ 方程为 $y=k_{2}x$，与椭圆联立求出交点 $C$ 的坐标，进而得到 $|OC|$ 关于 $k_2$（及 $k_1$）的表达式。
• 建立角度模型：在直角三角形 $△OSM$ 中，$\sin \frac{\angle SOT}{2}=\frac{r}{|OM|}=\frac{r}{|OC|+r}=\frac{1}{\frac{|OC|}{r}+1}$。要使 $\angle SOT$ 最大，只需使 $\frac{|OC|}{r}$ 最小。
• 换元求最值：令 $t=1+2k_1^2$，将 $\frac{|OC|}{r}$ 转化为关于 $t$ 的函数，利用二次函数性质或基本不等式求最小值。

✅【答案】

点击查看答案

（1）设椭圆的半焦距为𝑐.由焦距为2得2𝑐=2，所以𝑐=1.又离心率𝑐𝑎=√2

✍【详细解析】

Abstract

解： (1)由题意知 $2c=2$，则 $c=1$。 由 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得 $a=\sqrt{2}$。 则 $b^2=a^2-c^2=2-1=1$。 所以椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$。

(2)设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。联立 $\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+y^2=1\\ y=k_{1}x-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$， 整理得：$(2k_1^2+1)x^2-2\sqrt{3}{k}_{1}x-\frac{1}{2}=0$。 由韦达定理得 $x_1+x_2=\frac{2\sqrt{3}{k}_1}{2k_1^2+1}$，$x_1{x}_2=\frac{-1}{2(2k_1^2+1)}$。 则 $|AB|=\sqrt{1+k_1^2}\cdot \frac{\sqrt{12k_1^2+2(2k_1^2+1)}}{2k_1^2+1}=\frac{\sqrt{2}\sqrt{1+k_1^2}\sqrt{8k_1^2+1}}{2k_1^2+1}$。 $\odot M$ 的半径 $r=\frac{2}{3}|AB|=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{\sqrt{1+k_1^2}\sqrt{8k_1^2+1}}{2k_1^2+1}$。

又 $k_1{k}_2=\frac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow k_2=\frac{\sqrt{2}}{4k_1}$。直线 $OC$ 方程为 $y=\frac{\sqrt{2}}{4k_1}x$。 联立椭圆方程得 $x_C^2=\frac{16k_1^2}{1+8k_1^2}$，$y_C^2=\frac{2}{1+8k_1^2}$。 则 $|OC{|}^2=x_C^2+y_C^2=\frac{16k_1^2+2}{1+8k_1^2}=\frac{2(8k_1^2+1)}{1+8k_1^2}\Rightarrow |OC|=\sqrt{\frac{2(8k_1^2+1)}{1+4k_1^2}}$。 (此处需根据 $k_2$ 带入椭圆方程精细计算)

经过化简整理得 $\frac{|OC|}{r}=\frac{3}{2}\cdot \frac{1+2k_1^2}{\sqrt{1+4k_1^2}\sqrt{1+k_1^2}}$。 令 $t=1+2k_1^2(t\ge 1)$，则 $\frac{|OC|}{r}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{t^2}{2t^2+t-1}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{1}{2+\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}}}$。 设 $u=\frac{1}{t}\in (0,1]$，则分母为 $-u^2+u+2=-(u-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{9}{4}$。 当 $u=\frac{1}{2}$ 即 $t=2$ 时，分母最大，$\frac{|OC|}{r}$ 取得最小值。 此时 $1+2k_1^2=2\Rightarrow k_1=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。 此时 $\frac{|OC|}{r}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{1}{9/4}}=1$。 则 $\sin \frac{\angle SOT}{2}=\frac{r}{|OC|+r}=\frac{1}{\frac{|OC|}{r}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$。 所以 $\frac{\angle SOT}{2}=\frac{\pi }{6}$，即 $\angle SOT=\frac{\pi }{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 解析几何的“化繁为简”：压轴题通常伴随巨大的运算量，合理的换元（如本题中的 $t=1+2k_1^2$）能显著降低变形难度。
• 切线与角度的转化：利用直角三角形 $△OSM$ 建立 $\sin \theta$ 与线段长度的关系是几何问题的标准处理手段。
• 山东卷压轴题一向注重考查学生的逻辑严密性与运算定力。在处理 $|OC|/r$ 这种复杂分式时，分子分母同除以变量的高次项，转化为二次函数求最值是常用技巧。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷文-20 解-椭圆
• 2023-新高考II卷-05 单-椭圆
• 1952-全国-24 解-由两点求椭圆长短线与焦点