2017-江苏卷-01 填-集合

本题导读

本题考查集合的运算，以及集合中元素的特征。

📌【题干】

Question

（2017年江苏卷） 已知集合 $A=\{1,2\}$，$B=\{a,a^2+3\}$，若 $A\cap B=\{1\}$，则实数 $a$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解交集意义：$A\cap B=\{1\}$ 说明元素 $1$ 既在集合 $A$ 中，也在集合 $B$ 中。
2. 分类讨论：集合 $B$ 中有两个元素 $a$ 和 $a^2+3$。根据 $1\in B$，必然有 $a=1$ 或 $a^2+3=1$。
3. 验证互异性：求出 $a$ 的可能值后，必须代回集合 $B$ 检查两个元素是否相同，以及是否满足交集只有 $\{1\}$ 这一个元素的条件。

✅【答案】

点击查看答案

$1$

✍【详细解析】

Abstract

解： 因为 $A\cap B=\{1\}$，所以 $1\in B$。 由集合 $B=\{a,a^2+3\}$ 可知： 情况 ①：$a=1$。 此时集合 $B=\{1,1^2+3\}=\{1,4\}$。 此时 $A\cap B=\{1,2\}\cap \{1,4\}=\{1\}$，符合题意。

情况 ②：$a^2+3=1$。 此时 $a^2=-2$，在实数范围内无解。

综上所述，实数 $a$ 的值为 $1$。

故答案为：$1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 元素的互异性：这是集合大题（尤其是含参问题）中最容易被忽略的约束条件。求出参数后，“回头看一眼”能避免很多低级失误。
• 江苏卷特色：作为全卷第一题，通常非常简单，旨在让考生快速进入状态，但在填空题中没有选项辅助，书写结果时务必准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考： 若题目改为 $A\cap B\ne \varnothing$，则 $a$ 的取值范围会有所扩大：

• 若 $1\in B$，则 $a=1$；
• 若 $2\in B$，则 $a=2$ 或 $a^2+3=2$（无解）。 此时 $a$ 可以为 $1$ 或 $2$。

2. 陷阱预防： 在处理更复杂的集合问题时，如 $B=\{a,a^2-a\}$，若求出 $a=0$ 或 $a=1$，代回后会发现 $B=\{0,0\}$，这违反了互异性，必须舍去。

认清集合中元素的“属性”是解题关键。本题是数集，直接对比数值；若是点集（如 $\{(x,y)\mid \dots \}$），则需对比坐标。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-01 单-集合
• 2014-湖南卷文-02 单-集合
• 2014-福建卷文-01 单-集合