2017-江苏卷-14 填-函数零点

本题导读

本题考查函数的周期性与分段函数，以及函数与方程。

📌【题干】

Question

（2017年江苏卷） 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 且周期为 1 的函数，在区间 $[0,1)$ 上，$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\in D\\ x,& x\notin D\end{array}$，其中集合 $D=\{x\mid x=\frac{n-1}{n},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$，则方程 $f(x)-\lg x=0$ 的解的个数是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析函数值域：

• 在 $[0,1)$ 上，$x^2$ 和 $x$ 的取值范围都在 $[0,1)$ 内。
• 由于 $f(x)$ 周期为 1，所以对任意 $x\in \mathbb{R}$，恒有 $0\le f(x)<1$。

2. 确定 $x$ 的范围：

• 方程 $f(x)=\lg x$ 有解，必须满足 $0\le \lg x<1$。
• 解得 $1\le x<10$。这意味着我们只需讨论 $x\in [1,10)$ 这一区间。

3. 数形结合：

• 将方程转化为两个函数图象的交点问题：$y=f(x)$ 与 $y=\lg x$。
• $y=\lg x$ 在 $[1,10)$ 上是单调递增的，且从 $0$ 增加到接近 $1$。
• $y=f(x)$ 在每个周期 $[k,k+1)$ ($k=1,2,\dots ,9$) 上的图象基本是直线 $y=x-k$，但在集合 $D$ 对应的点处会“跳跃”到 $y=(x-k{)}^2$。

4. 关键点辨析：

• 在每个周期内，$y=\lg x$ 是否会恰好经过 $f(x)$ 的跳跃点？
• 集合 $D$ 中的点均为有理数。我们需要判定当 $x$ 为有理数时，$\lg x$ 是否可能为有理数（见解析）。

✅【答案】

点击查看答案

8

✍【详细解析】

Abstract

解： 第一步：确定解的有效范围 由 $f(x)$ 的周期性及在 $[0,1)$ 上的定义可知 $0\le f(x)<1$。 要使 $f(x)=\lg x$ 成立，必有 $0\le \lg x<1$，即 $1\le x<10$。

第二步：判定 $\lg x$ 与有理数的关系 对于 $x\in [1,10)$，若 $x\in \mathbb{Q}$（有理数），设 $x=\frac{q}{p}$ ($p,q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, 互质)。 假设 $\lg x\in \mathbb{Q}$，由于 $0\le \lg x<1$，可设 $\lg x=\frac{n}{m}$ ($m,n\in \mathbb{N},m\ge 1$, 互质)。 则 $10^{\frac{n}{m}}=\frac{q}{p}\Rightarrow 10^n=(\frac{q}{p}{)}^m\Rightarrow 10^n\cdot p^m=q^m$。 若 $p>1$，则等式左边含有因子 $2$ 或 $5$，但由于 $p,q$ 互质，$q^m$ 不可能含有 $p$ 的质因子，矛盾。 若 $p=1$，则 $10^n=q^m$，这仅在 $x$ 是 $10$ 的幂时成立（如 $x=1$ 时 $\lg x=0$）。 结论：在 $x\in (1,10)$ 范围内，若 $x$ 为有理数，$\lg x$ 必为无理数。

第三步：分周期讨论交点个数 集合 $D=\{0,\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\dots \}$。在每个周期 $[k,k+1)$ 内，对应的“跳跃点”横坐标为 $x=k+\frac{n-1}{n}$，这些都是有理数。 由第二步可知，在这些点处，$\lg x$ 永远是无理数，而 $f(x)$ 在这些点取 $(x-k{)}^2$（有理数的平方，仍为有理数）。 因此，$\lg x$ 永远不会经过 $f(x)$ 的跳跃点。 方程 $f(x)=\lg x$ 等价于 $\lg x=x-k$ ($x\notin k+D$)。

1. 当 $x=1$ 时：$f(1)=f(0)=0^2=0$，$\lg 1=0$。$x=1$ 是第 1 个解。
2. 当 $x\in [1,2)$ 时：$f(x)$ 沿 $y=x-1$ 增长。由于 $\lg x$ 增长较慢，且在 $x=1$ 已相交，此区间无其他解。
3. 当 $x\in [k,k+1)$ ($k=2,3,\dots ,8$) 时：

• 在 $x=k$ 时，$f(k)=0<\lg k$。
• 在 $x\to k+1$ 时，$f(x)\to 1>\lg (k+1)$。
• 由于函数连续（且避开了跳跃点），每个周期必有且仅有 1 个解。共 $7$ 个周期，即 7 个解。

4. 当 $x\in [9,10)$ 时：

• $x=9$ 时，$f(9)=0<\lg 9$。
• 但当 $x\to 10$ 时，$f(x)\to 1$ 且 $\lg x\to 1$。
• 比较增长速度：$(\lg x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln 10}$，在 $x=10$ 附近斜率约 $0.04$；而 $f(x)$ 斜率为 $1$。
• 因为 $f(x)$ 在末端始终高于 $\lg x$，且 $\lg 10=1$ 但 $f(x)$ 取不到 $1$，故此区间无解。

总计：$1(\text{at }x=1)+7(\text{in }[2,9))=8$ 个解。


故答案为：8。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 数系的性质：本题最隐蔽的难点在于判定 $\lg x$ 是否会落在集合 $D$ 上。江苏卷常在压轴填空考查这种极细微的数论逻辑。
• 数形结合的边界：在 $x\in [9,10)$ 区间的判定需要非常小心，通过斜率比较或端点极限值分析是解析几何与导数结合的常用手段。
• 周期函数与对数/指数函数结合求交点是高考高频模型。核心是“找准范围，分段数数，死盯端点”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-14 填-函数零点
• 2014-北京卷文-06 单-函数零点
• 2014-湖北卷文-09 单-函数零点