本题导读
本题考查线面平行的判定定理。核心在于转化与化归思想、几何逻辑推理的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2017年江苏卷） 如图，在三棱锥 中，，，平面 平面 .点 分别在棱 上，且 .
求证：(1) 平面 ；
(2).
🔍【思路分析】
破题导航
- 第一问（线面平行）：
- 线线平行：在平面 中，已知 且 。根据”在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行”，得到 。
- 线面平行：利用线面平行的判定定理，由 ， 平面 ，且 平面 ，即可得证。
- 第二问（线线垂直）：
- 转化过程：要证 ，已知 ，若能证明 平面 ，则结论自然成立。
- 面面垂直性质：已知平面 平面 ，交线为 。由于 且 平面 ，根据面面垂直性质定理，可知 平面 。
- 线面垂直判定：由 平面 得 （即 ）。结合已知 ，且 ，满足线面垂直判定定理，得 平面 。
- 结论导出：最终由线面垂直性质得 。
✅【答案】
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因此𝐸𝐹∥平面𝐴𝐵𝐶
✍【详细解析】
Abstract
(1) 证明：
(1) 证明 平面 在平面 内，因为 ，，所以 。又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 。
(2) 证明 因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，，根据面面垂直的性质定理，可得 平面 。因为 平面 ，所以 ，即 。又已知 ，且 ， 平面 ，根据线面垂直的判定定理，可得 平面 。因为 平面 ，所以 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：面面垂直的性质定理、线面平行与线面垂直的判定定理。
核心方法：转化与化归思想——将”面面垂直”转化为”线面垂直”、再转化为”线线垂直”。
避坑指南：
- 面面垂直的”翻译”：看到”平面 平面 “，第一反应应是在其中一个平面内找一条垂直于交线的直线，从而转化出线面垂直。本题中 正是这种性质的完美切入点。
- 逻辑链条：证明线线垂直通常遵循”线线 线面 线线”的路径。
- 规范表达：江苏卷解答题书写必须严谨。判定定理的三个条件（线外、线在面内、平行关系）和五个条件（两条相交直线、都在面内、垂直关系）缺一不可，否则会产生步骤扣分。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 结论推广: 在本题模型中，若 ，则可以进一步求出三棱锥的体积或异面直线间的距离。
- 方法推广:
- 空间向量法：在建立空间直角坐标系时，由于 两两垂直，可以以 为原点，分别以 为 轴，过 作 的垂线为 轴，通过坐标运算进行证明。
相关知识点:
- 三垂线定理：本题的几何背景也与三垂线定理密切相关，体现了空间垂直关系的层次性。
🔗【关联脉络】
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