2015-新课标I卷文-18 解-立体几何综合

本题导读

立体几何证明 + 计算。（1）菱形对角线互垂直 + $B E ⊥$ 底面，凑出线面垂直再升面面垂直；（2）由体积逆求出边长与 $B E$ ，侧面积逐面计算。

📌【题干】

Question

（2015年新课标I卷(文)）如图，四边形 $A B C D$ 为菱形， $G$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点， $B E ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1) 证明：平面 $A E C ⊥$ 平面 $B E D$ ；

(2) 若 $∠ A B C = 12 0^{\circ}$ ， $A E ⊥ E C$ ，三棱锥 $E - A C D$ 的体积为 $\frac{6}{3}$ ，求该三棱锥的侧面积.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）菱形 $\Rightarrow A C ⊥ B D$ ； $B E ⊥$ 底面 $\Rightarrow B E ⊥ A C$ 。 $A C ⊥$ 平面 $B E D \Rightarrow$ 平面 $A E C ⊥$ 平面 $B E D$ 。

（2）设边长 $a$ ： $∠ A B C = 12 0^{\circ} \Rightarrow A C = 3 a$ ； $A E ⊥ E C$ 结合 $B E ⊥$ 底面得 $B E^{2} = \frac{a ^{2}}{2}$ 。

体积方程解出 $a = 2$ ，再算三个侧面积。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $3 + 25$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 四边形 $A B C D$ 为菱形，对角线互相垂直，故 $A C ⊥ B D$ .

又 $B E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A C \subset$ 平面 $A B C D$ ，故 $B E ⊥ A C$ .

$B D \cap B E = B$ ， $B D, B E \subset$ 平面 $B E D$ ，所以 $A C ⊥$ 平面 $B E D$ .

又 $A C \subset$ 平面 $A E C$ ，故平面 $A E C ⊥$ 平面 $B E D$ .

（2） 设菱形边长为 $a$ . 由 $∠ A B C = 12 0^{\circ}$ 得

$A C^{2} = a^{2} + a^{2} - 2 a^{2} cos 12 0^{\circ} = 3 a^{2} ⟹ A C = 3 a,$

且 $A G = GC = \frac{3}{2} a$ ， $B G = G D = \frac{a}{2}$ .

设 $B E = h$ . 由 $B E ⊥$ 平面 $A B C D$ 得 $E A = E C = a^{2} + h^{2}$ ，而 $A E ⊥ E C$ ，故

$2 (a^{2} + h^{2}) = A C^{2} = 3 a^{2} ⟹ h^{2} = \frac{a ^{2}}{2} .$

$△ A C D$ 的面积等于菱形面积的一半： $S_{△ A C D} = \frac{3 a ^{2}}{4}$ . 由体积

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 a ^{2}}{4} \cdot h = \frac{6}{3} ⟹ \frac{3 a ^{3}}{12 2} = \frac{6}{3} ⟹ a^{3} = 8 ⟹ a = 2.$

于是 $B E = h = 2$ ， $A E = E C = E D = 4 + 2 = 6$ .

在等腰 $△ E A C$ 中， $E G ⊥ A C$ ， $E G = A E^{2} - A G^{2} = 6 - 3 = 3$ ，故

$S_{△ E A C} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot E G = \frac{1}{2} \cdot 23 \cdot 3 = 3.$

$△ E A D$ 与 $△ E C D$ 为全等等腰三角形：底 $A D = C D = 2$ ，腰 $6$ ，底上的高 $6 - 1 = 5$ ，

$S_{△ E A D} = S_{△ E C D} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 = 5 .$

故三棱锥 $E - A C D$ 的侧面积为 $3 + 25$ .

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与侧面积计算。

核心方法：“菱形对角线互相垂直”是垂直关系的免费礼物；体积条件用来”逆求”棱长。

避坑指南：① $∠ A B C = 12 0^{\circ}$ 时 $A C$ 是长对角线（ $3 a$ ）， $B D$ 是短的（ $a$ ），别弄反；② 求侧面积时 $△ E A C$ 用对角线乘高，另两面用等腰结构，三个面分开算别混。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：全国卷立体几何解答题的两大模板之一：“垂直证明 + 体积/侧面积计算”；本题与 2015 年新课标Ⅰ理 18 题（同一图形背景的理科版）互为镜像。

结论推广: 若把 $A E ⊥ E C$ 改为 $A E = E C$ ，则 $E$ 的位置不再唯一，须补充条件才能定值——可见" $A E ⊥ E C$ "正是用来锁死 $h$ 的。

方法推广: 立体几何计算题通用流程：设基本量（边长 $a$ ）→ 用垂直与体积条件列方程 → 解出全部所需线段长 → 分面算面积。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

13.03 空间点、线、面位置关系

13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

2015-新课标I卷理-18 解-面面垂直

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2015-新课标I卷文-18 解-立体几何综合

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