2017-江苏卷-16 解-向量综合

本题导读

本题考查向量平行的坐标运算。核心在于坐标运算法、辅助角法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年江苏卷） 已知向量 $\mathbf{a}=(\cos x,\sin x)$，$\mathbf{b}=(3,-\sqrt{3})$，$x\in [0,\pi ]$.

(1)若 $\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$，求 $x$ 的值；

(2)记 $f(x)=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$，求 $f(x)$ 的最大值、最小值以及对应的 $x$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（向量平行）：

• 判定条件：若 $\vec{a}=(x_1,y_1),\vec{b}=(x_2,y_2)$，则 $\vec{a}\parallel \vec{b}⟺x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$。
• 转化方程：代入坐标得到 $-\sqrt{3}\cos x-3\sin x=0$，转化为 $\tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$。
• 约束范围：在 $x\in [0,\pi ]$ 内寻找符合条件的角。

2. 第二问（数量积与最值）：

• 构建函数：利用数量积坐标公式得到 $f(x)=3\cos x-\sqrt{3}\sin x$。
• 化简形式：应用辅助角公式 $a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\cos (x+\varphi )$，将其化为单一余弦函数形式。
• 确定范围：根据 $x\in [0,\pi ]$ 确定复合角 $(x+\frac{\pi }{6})$ 的取值范围，利用余弦函数的单调性求出最值。

✅【答案】

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（1）由𝒂∥𝒃，得∣∣∣∣∣cos𝑥sin𝑥

✍【详细解析】

Abstract

解： (1)求 $x$ 的值： 因为 $\mathbf{a}=(\cos x,\sin x)$，$\mathbf{b}=(3,-\sqrt{3})$，且 $\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$， 根据向量平行的坐标表示得：$3\sin x-(-\sqrt{3})\cos x=0$， 即 $3\sin x=-\sqrt{3}\cos x$。 若 $\cos x=0$，则 $\sin x=0$，这与 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 矛盾，故 $\cos x\ne 0$。 所以 $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$。 又因为 $x\in [0,\pi ]$， 所以 $x=\frac{5\pi }{6}$。

(2)求 $f(x)$ 的最值： $f(x)=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=3\cos x-\sqrt{3}\sin x$。 利用辅助角公式提取 $2\sqrt{3}$： $f(x)=2\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x\right)=2\sqrt{3}\cos (x+\frac{\pi }{6})$。

因为 $x\in [0,\pi ]$，所以 $x+\frac{\pi }{6}\in [\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6}]$。 结合余弦函数 $y=\cos u$ 在 $[\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6}]$ 上的性质：

• 当 $x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$，即 $x=0$ 时，$f(x)$ 取得最大值 $f(0)=2\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=3$；
• 当 $x+\frac{\pi }{6}=\pi$，即 $x=\frac{5\pi }{6}$ 时，$f(x)$ 取得最小值 $f(\frac{5\pi }{6})=2\sqrt{3}\times (-1)=-2\sqrt{3}$。

💡 【考点总结与回顾】

• 辅助角公式的准确性：本题化简为 $\cos (x+\varphi )$ 还是 $\sin (x+\psi )$ 均可，但需注意提取模长 $\sqrt{a^2+b^2}$ 后系数与特殊角三角函数值的对应关系。
• 闭区间最值：三角函数在闭区间上的最值不一定在端点取得，也不一定能取到波峰或波谷。必须先确定复合角的范围，再观察函数在该段区间内的走势。
• 江苏卷解答题中，第一问往往是第二问的铺垫。例如本题第一问求出的 $x=\frac{5\pi }{6}$ 恰好是第二问取得最小值的点，这种内在联系可作为检查答案的参考。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若要求 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$，则 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$，即 $f(x)=0$，可求得 $x=\frac{\pi }{3}$。
• 方法推广:
  • 单位圆法：利用向量 $\mathbf{a}$ 是单位圆上的动点，$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 即为向量 $\mathbf{a}$ 在向量 $\mathbf{b}$ 方向上的投影乘上 $|\mathbf{b}|$。

• 相关知识点:

  • 二倍角公式：如果坐标中含有 ${\cos }^{2}x$ 或 $\sin 2x$，则需先进行降幂扩角变换。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2025-上海卷-12 填-向量综合
• 2005-天津卷文-22 解-抛物线与向量综合
• 2007-江苏卷-18 解-正方体空间向量综合