2007-江苏卷-18 解-正方体空间向量综合

本题导读

本题考查空间向量的坐标运算。

📌【题干】

Question

（2007年江苏卷） 如图，已知 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 是棱长为 $3$ 的正方体，点 $E$ 在 $A{A}_1$ 上，点 $F$ 在 $C{C}_1$ 上，且 $AE=F{C}_1=1$. （1）求证：$E$，$B$，$F$，$D_1$ 四点共面； （2）若点 $G$ 在 $BC$ 上，$BG=\frac{2}{3}$，点 $M$ 在 $B{B}_1$ 上，$GM\perp BF$，垂足为 $H$，求证：$EM\perp$ 面 $BC{C}_1{B}_1$； （3）用 $\theta$ 表示截面 $EBF{D}_1$ 和面 $BC{C}_1{B}_1$ 所成锐二面角大小，求 $\tan \theta$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $B$ 为原点、$BC$、$BA$、$B{B}_1$ 为 $x,y,z$ 轴建系，写出各点坐标。
2. (1) 证 $\overrightarrow{B{D}_1}=\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{BF}$（向量分解）。
3. (2) 由 $GM\perp BF$ 解出 $M$ 的纵坐标，再说明 $\overrightarrow{EM}$ 与平面 $BC{C}_1{B}_1$ 的法向量平行。
4. (3) 求截面 $EBF{D}_1$ 的法向量，与面 $BC{C}_1{B}_1$ 的法向量作夹角，取锐角求 $\tan \theta$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 见解析；(2) 见解析；(3) $\tan \theta =\sqrt{13}$

✍【详细解析】

Abstract

建立空间直角坐标系，使 $B$ 为原点，$BC$，$BA$，$B{B}_1$ 分别为 $x$，$y$，$z$ 轴正方向．于是 $B=(0,0,0)$，$C=(3,0,0)$，$A=(0,3,0)$，$A_1=(0,3,3)$，$B_1=(0,0,3)$，$C_1=(3,0,3)$，$D_1=(3,3,3)$．由 $AE=1$，$F{C}_1=1$，得 $E=(0,3,1)$，$F=(3,0,2)$． （1）因为 $\overrightarrow{BE}=(0,3,1)$，$\overrightarrow{BF}=(3,0,2)$，且 $\overrightarrow{B{D}_1}=(3,3,3)=\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{BF}$，所以点 $D_1$ 在由点 $B,E,F$ 确定的平面内，故 $E,B,F,D_1$ 四点共面． （2）设 $M=(0,0,t)$．由 $BG=\frac{2}{3}$，得 $G=\left(\frac{2}{3},0,0\right)$，从而 $\overrightarrow{GM}=\left(-\frac{2}{3},0,t\right)$，$\overrightarrow{BF}=(3,0,2)$． 由 $GM\perp BF$，有 $\overrightarrow{GM}\cdot \overrightarrow{BF}=-\frac{2}{3}\cdot 3+2t=0$，解得 $t=1$，即 $M=(0,0,1)$．因而 $\overrightarrow{EM}=(0,-3,0)$，直线 $EM$ 平行于 $y$ 轴，而平面 $BC{C}_1{B}_1$ 的方程为 $y=0$，所以 $EM\perp$ 面 $BC{C}_1{B}_1$． （3）记平面 $EBF{D}_1$ 为 $\Pi$，平面 $BC{C}_1{B}_1$ 为 $\Sigma$．由 $\overrightarrow{BE}\times \overrightarrow{BF}=(6,3,-9)=3(2,1,-3)$，可知 $\Pi$ 的一个法向量为 $(2,1,-3)$，故其方程为 $2x+y-3z=0$．平面 $\Sigma$ 的一个法向量为 $(0,1,0)$． 因为所求二面角取锐角，所以 $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{14}}$，从而 $\sin \theta =\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{14}}$．所以 $\tan \theta =\sqrt{13}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体空间向量综合

核心方法：建系后向量分解证共面、法向量求角

避坑指南：共面证明用 BD1=BE+BF（向量分解）；EM⊥面 BCC1B1 的关键是 EM 方向与该面法向量 (0,1,0) 平行；二面角取锐角，cosθ=|n1·n2|/(|n1||n2|)

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”空间向量的应用”

结论推广：四点共面 ⟺ 存在实数使一个向量可由另两个线性表出（有公共起点）

方法推广：正方体问题一律建系；截面二面角先求截面法向量，再用两法向量夹角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 21.02 空间向量与线面位置关系判定
• 21.03 空间向量求角

类题演练(Links)

• 2010-四川卷文-18 解-正方体公垂线二面角
• 2010-北京卷文-08 单-正方体三棱锥体积
• 2010-大纲卷I文-20 解-四棱锥垂直与二面角