2017-浙江卷-04 单-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划，以及不等式组表示的平面区域。

📌【题干】

Question

（2017年浙江卷） 若 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x+y-3\ge 0\\ x-2y\le 0\end{array}$，则 $z=x+2y$ 的取值范围是 ()

A. $[0,6]$　　　　B. $[0,4]$　　　　C. $[6,+\infty )$　　　　D. $[4,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 作出可行域：在平面直角坐标系中，分别画出直线 $x=0$，$x+y-3=0$ 和 $x-2y=0$。根据不等号方向确定各直线所围成的区域。注意 $x+y-3\ge 0$ 指向右上方，$x-2y\le 0$（即 $y\ge \frac{1}{2}x$）指向左上方，结合 $x\ge 0$，该区域是一个向右上方无限延伸的开放区域。
2. 寻找交点：联立 $x+y-3=0$ 与 $x-2y=0$，解得交点 $A(2,1)$。
3. 分析目标函数：$z=x+2y$ 变形为 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$。这表示一组斜率为 $-\frac{1}{2}$ 的平行直线，$z$ 的大小由直线在 $y$ 轴上的截距决定。
4. 确定最值：平移直线 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$。由于可行域在右上方的开放空间，当直线经过点 $A(2,1)$ 时，截距最小，即 $z$ 取得最小值。随着直线向右上方移动，$z$ 的值无限增大。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由约束条件 $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x+y-3\ge 0\\ x-2y\le 0\end{array}$ 作出可行域如下：

1. 直线 $l_1:x+y-3=0$ 过点 $(3,0)$ 和 $(0,3)$。
2. 直线 $l_2:x-2y=0$ 过点 $(0,0)$ 和 $(2,1)$。
3. 联立方程组： $\{\begin{array}{l}x+y-3=0\\ x-2y=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}$ 得交点 $A(2,1)$。
4. 可行域为以 $A$ 为顶点，向右上方延伸的开放阴影区域。
5. 目标函数 $z=x+2y$ 对应直线 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$。
6. 将直线置于可行域内平移，当经过点 $A(2,1)$ 时，$z$ 取得最小值： $z_{min}=2+2\times 1=4$。
7. 因为区域向右上方无限延伸，故 $z$ 无最大值。 所以 $z$ 的取值范围是 $[4,+\infty )$。 故选 D


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 开放区域处理：线性规划并不总是封闭的多边形。如果区域是开放的，通常只有最小值或只有最大值，需结合图形走势判断。
• 截距几何意义：对于 $z=Ax+By$，若 $B>0$，则 $z$ 随截距增大而增大；若 $B<0$，则 $z$ 随截距增大而减小。本题 $B=2>0$，故找截距最小值即可。
• 快速画图的关键是找准边界线的交点和“定侧”方向（可用“原点测试法”或看 $y$ 的系数正负）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若目标函数改为 $z=x-y$，其取值范围会如何？（提示：此时区域开放可能导致既无最大值也无最小值，或只有一个界限，需重新平移斜率为 1 的直线观察）。
2. 知识关联：线性规划常与实际应用题结合（如利润最大化、成本最低化），或与圆、斜率等非线性目标函数结合考查。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-02 单-线性规划
• 2009-山东卷文-16 填-线性规划
• 2011-大纲卷文-04 单-线性规划