2017-浙江卷-06 单-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的前项和性质，以及充分必要条件的判定。

📌【题干】

Question

（2017年浙江卷） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，前 $n$ 项和为 $S_n$，则“$d>0$”是“$S_4+S_6>2S_5$”的 ()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化目标不等式：将 $S_4+S_6>2S_5$ 进行变形。移项得 $S_6-S_5>S_5-S_4$。
2. 利用 $S_n$ 与 $a_n$ 的关系：根据 $S_n-S_{n-1}=a_n$，上述不等式等价于 $a_6>a_5$。
3. 联系公差 $d$：在等差数列中，$a_6-a_5=d$。因此 $a_6>a_5$ 等价于 $d>0$。
4. 判定逻辑关系：因为“$d>0$”与“$S_4+S_6>2S_5$”互为充要条件，所以选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

要判定“$d>0$”与“$S_4+S_6>2S_5$”的关系，我们对后者进行等价变形： $S_4+S_6>2S_5$ $⟺S_6-S_5>S_5-S_4$ 根据前 $n$ 项和与通项的关系 $a_n=S_n-S_{n-1}$（$n\ge 2$）： $S_6-S_5=a_6$ $S_5-S_4=a_5$ 所以原不等式等价于： $a_6>a_5$ 即 $a_6-a_5>0$。 由等差数列定义知 $a_6-a_5=d$，故： $S_4+S_6>2S_5⟺d>0$。 因为“$d>0$”可以推出“$S_4+S_6>2S_5$”，且“$S_4+S_6>2S_5$”也可以推出“$d>0$”， 所以“$d>0$”是“$S_4+S_6>2S_5$”的充分必要条件。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 常用性质：等差数列中 $S_{n-1}+S_{n+1}-2S_n=a_{n+1}-a_n=d$。这是一个非常实用的二级结论。
• 逻辑判定：
• 若 $p\Rightarrow q$ 且 $q\nRightarrow p$，则 $p$ 是充分不必要条件。
• 若 $p⟺q$，则 $p$ 是充要条件。
• 处理涉及 $S_n$ 的不等式时，优先考虑利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 进行降维转化，往往能直接看到问题的本质。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若题目改为“$d\ge 0$”是“$S_4+S_6\ge 2S_5$”的什么条件？

• 同理可证，$d\ge 0⟺S_4+S_6\ge 2S_5$，仍为充要条件。

2. 知识关联：等比数列中是否存在类似的性质？

• 在等比数列中，$S_4+S_6>2S_5$ 等价于 $a_6>a_5$，即 $a_1{q}^4(q-1)>0$，这与 $q$ 的符号以及 $a_1$ 的正负均有关，情况会复杂得多。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-13 填-等差数列
• 2013-新课标II卷文-17 解-等差数列
• 2014-江西卷文-13 填-等差数列