2017-浙江卷-17 填-对勾函数

本题导读

本题考查对勾函数的图象与性质，以及含绝对值的函数最值。

📌【题干】

Question

（2017年浙江卷） 已知 $a\in \mathbb{R}$，函数 $f(x)=|x+\frac{4}{x}-a|+a$ 在区间 $[1,4]$ 上的最大值是 $5$，则 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析内层函数：令 $g(x)=x+\frac{4}{x}$。这是一个典型的“对勾函数”。

• 当 $x\in [1,4]$ 时，$g(x)$ 在 $[1,2]$ 上递减，在 $[2,4]$ 上递增。
• $g(1)=1+4=5$，$g(2)=2+2=4$，$g(4)=4+1=5$。
• 因此，当 $x\in [1,4]$ 时，$g(x)$ 的值域为 $[4,5]$。

2. 简化函数模型：原函数可看作 $f(g)=|g-a|+a$，其中 $g\in [4,5]$。
3. 分类讨论参数 $a$：

• 情况一：$a\ge 5$。此时 $g-a\le 0$，去掉绝对值分析最大值。
• 情况二：$a\le 4$。此时 $g-a\ge 0$，去掉绝对值分析最大值。
• 情况三：$4<a<5$。此时 $g-a$ 有正有负，最大值出现在区间的端点（即 $g=4$ 或 $g=5$ 时）。

4. 建立不等式求解：根据“最大值是 $5$”这一条件，对各情况下的 $a$ 进行限制或求解。

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✅【答案】

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$(-\infty ,\frac{9}{2}]$

✍【详细解析】

Abstract

解： 令 $g=x+\frac{4}{x}$，已知 $x\in [1,4]$，则 $g\in [4,5]$。 令 $h(g)=|g-a|+a$，$g\in [4,5]$。 由于 $h(g)$ 是关于 $g$ 的分段线性函数，其最大值必在区间端点 $g=4$ 或 $g=5$ 处取得。 即 $h(g{)}_{max}=\max \{h(4),h(5)\}=\max \{|4-a|+a,|5-a|+a\}$。 根据题意，$h(g{)}_{max}=5$。

分类讨论：

1. 当 $a\le 4$ 时： $h(4)=4-a+a=4$； $h(5)=5-a+a=5$。 此时最大值为 $5$，符合题意。故 $a\in (-\infty ,4]$。

2. 当 $a\ge 5$ 时： $h(4)=a-4+a=2a-4$； $h(5)=a-5+a=2a-5$。 最大值为 $2a-4$。令 $2a-4=5$ 得 $a=\frac{9}{2}$。 由于 $\frac{9}{2}<5$，与假设 $a\ge 5$ 矛盾，舍去。

3. 当 $4<a<5$ 时： $h(4)=a-4+a=2a-4$； $h(5)=5-a+a=5$。 要使最大值为 $5$，则需满足 $h(5)\ge h(4)$，即 $5\ge 2a-4$。 解得 $a\le \frac{9}{2}$。 结合前提 $4<a<5$，得 $a\in (4,\frac{9}{2}]$。

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty ,4]\cup (4,\frac{9}{2}]=(-\infty ,\frac{9}{2}]$。

故答案为：$(-\infty ,\frac{9}{2}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 函数换元法：将复杂的 $x+\frac{4}{x}$ 换元为 $g$，使问题转化为简单的绝对值函数，是解析本题的高效路径。
• 端点效应：对于形如 $f(x)=|x-a|+b$ 的函数，在闭区间上的最值点一定在区间端点或绝对值内部为 $0$ 的点取得。
• 浙江卷填空压轴题通常需要严密的逻辑讨论。分类讨论时，界限点（如 $4$ 和 $5$）的选择应依据内层函数的值域边界。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若题目要求“最大值不小于 5”，则 $a$ 的范围会如何变化？

• 此时只需 $\max \{h(4),h(5)\}\ge 5$，即 $2a-4\ge 5$ 或 $5\ge 5$（恒成立），范围会扩大。

2. 知识关联：本题综合了不等式、导数（对勾函数性质）和绝对值函数，是考查函数综合素质的典型题目。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2006-上海文-22 解-对勾函数单调性与最值
• 2006-安徽文-08 单-对勾函数最值
• 2008-安徽卷文-09 单-对勾函数最值