2017-浙江卷-21 解-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与性质。核心在于坐标法、参数置换法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年浙江卷） 如图，已知抛物线 $x^2=y$，点 $A(-\frac{1}{2},\frac{1}{4})$，$B(\frac{3}{2},\frac{9}{4})$，抛物线上的点 $P(x,y)$ 满足 $-\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}$.过点 $B$ 作直线 $AP$ 的垂线，垂足为 $Q$.

(1)求直线 $AP$ 斜率 $k$ 的取值范围；

(2)求 $|PA|\cdot |PQ|$ 的最大值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（斜率范围）：点 $P$ 在抛物线上，可设 $P(x,x^2)$。利用斜率公式 $k=\frac{y_P-y_A}{x_P-x_A}$，结合 $x$ 的范围求出 $k$ 的值域。
2. 第二问（乘积最值）：

• 表达长度：将 $P$ 点坐标用 $k$ 表示。由 $k=\frac{x^2-1/4}{x+1/2}=x-\frac{1}{2}$，得 $x=k+\frac{1}{2}$。
• 计算 $|PA|$：利用两点距离公式，代入 $x$ 与 $k$ 的关系，得到关于 $k$ 的表达式。
• 计算 $|PQ|$：$Q$ 是 $B$ 在直线 $AP$ 上的射影。$|PQ|$ 可以看作向量 $\overrightarrow{PB}$ 在直线 $AP$ 方向上的投影长度，或者通过 $Q$ 点坐标计算。更简便的方法是：$|PQ|=\sqrt{|PB{|}^2-d^2}$（$d$ 为 $B$ 到 $AP$ 的距离），或利用 $A,P,Q$ 共线及垂直关系。
• 构造函数：令 $f(k)=|PA|\cdot |PQ|$，利用导数求出其在第一问求得的 $k$ 范围内的最大值。

✅【答案】

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（1）设𝑃(𝑡,𝑡2)，则−12<𝑡<32，所以直线𝐴𝑃的斜率为𝑡2−1

✍【详细解析】

Abstract

解： (1)设 $P(x,x^2)$，其中 $-\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}$。 直线 $AP$ 的斜率 $k=\frac{x^2-\frac{1}{4}}{x-(-\frac{1}{2})}=\frac{(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})}{x+\frac{1}{2}}=x-\frac{1}{2}$。 因为 $-\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}$， 所以 $-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}<k<\frac{3}{2}-\frac{1}{2}$，即 $-1<k<1$。 故直线 $AP$ 斜率的取值范围是 $(-1,1)$。

(2)由(1)知 $x=k+\frac{1}{2}$。 $|PA|=\sqrt{(x+\frac{1}{2}{)}^2+(x^2-\frac{1}{4}{)}^2}=\sqrt{(k+1{)}^2+[k(k+1){]}^2}=(k+1)\sqrt{1+k^2}$（注意 $k+1>0$）。 直线 $AP$ 的方程为：$y-\frac{1}{4}=k(x+\frac{1}{2})$，即 $kx-y+\frac{k}{2}+\frac{1}{4}=0$。 过 $B(\frac{3}{2},\frac{9}{4})$ 作 $AP$ 的垂线 $BQ$，直线 $BQ$ 方程为：$y-\frac{9}{4}=-\frac{1}{k}(x-\frac{3}{2})$。 联立两直线方程求解 $Q$ 点坐标，可得 $Q$ 的横坐标 $x_Q=\frac{-k^2+4k+3}{2(k^2+1)}$。 由于 $A,P,Q$ 三点共线，且 $Q$ 是 $P$ 在直线上的延伸或截断，则： $|PQ|=\sqrt{1+k^2}|x_Q-x_P|=\sqrt{1+k^2}\left|\frac{-k^2+4k+3}{2(k^2+1)}-(k+\frac{1}{2})\right|=\frac{(1-k)(1+k{)}^2}{\sqrt{1+k^2}}$。 因此，$|PA|\cdot |PQ|=(k+1)\sqrt{1+k^2}\cdot \frac{(1-k)(k+1{)}^2}{\sqrt{1+k^2}}=(1-k)(k+1{)}^3$。 令 $f(k)=(1-k)(k+1{)}^3$，其中 $k\in (-1,1)$。 $f^{\prime }(k)=-1\cdot (k+1{)}^3+(1-k)\cdot 3(k+1{)}^2=(k+1{)}^2(-k-1+3-3k)=(k+1{)}^2(2-4k)$。 令 $f^{\prime }(k)=0$，得 $k=\frac{1}{2}$（$k=-1$ 舍去）。 当 $-1<k<\frac{1}{2}$ 时，$f^{\prime }(k)>0$，$f(k)$ 单调递增； 当 $\frac{1}{2}<k<1$ 时，$f^{\prime }(k)<0$，$f(k)$ 单调递减。 所以当 $k=\frac{1}{2}$ 时，$f(k)$ 取得最大值： $f(\frac{1}{2})=(1-\frac{1}{2})(\frac{1}{2}+1{)}^3=\frac{1}{2}\cdot (\frac{3}{2}{)}^3=\frac{27}{16}$。 故 $|PA|\cdot |PQ|$ 的最大值为 $\frac{27}{16}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 变量选择：本题将 $x$ 转化为斜率 $k$ 是一大亮点，这使得 $|PA|$ 和 $|PQ|$ 的表达式中根号项可以相互抵消，简化了计算。
• 几何特征：$|PQ|$ 是点 $P$ 到垂足的距离。在解析几何中，如果直接计算点坐标会很繁琐，利用向量投影或比例关系有时更快。
• 处理 $|PA||PQ|$ 这种乘积最值，最终通常会归结为一个三次或四次函数。求导是万能钥匙，但要注意前提范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若点 $P$ 在抛物线外，本题的斜率范围将不再是简单的线性关系。
2. 知识关联：本题综合了抛物线、直线垂直、点到直线投影以及导数，是典型的“几代合一”题目，体现了浙江卷对运算能力和数形结合能力的高度要求。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-14 填-抛物线
• 2014-福建卷文-21 解-抛物线
• 2023-新高考II卷-10 多-抛物线