2018-上海卷-03 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2018年上海卷）在 $(1+x{)}^7$ 的二项展开式中，$x^2$ 项的系数为 $\underline{}$（结果用数值表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项：根据二项式定理通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。

2. 锁定 $r$ 值：令 $x$ 的幂次等于 2，确定对应的 $r$。

3. 计算系数：代入组合数公式计算 $C_7^2$ 的值。

✅【答案】

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21

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 21

【解析过程】

$(1+x{)}^7$ 展开式的通项公式为 $T_{r+1}=C_7^r\cdot 1^{7-r}\cdot x^r=C_7^r{x}^r$。

令 $r=2$，得 $x^2$ 项的系数为：

$C_7^2=\frac{7\times 6}{2\times 1}=21$。

故答案为：21。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

二项式系数与项的系数的区别：

• 二项式系数：指组合数 $C_n^r$，始终为正，且与展开式中的项的具体数值无关。

• 项的系数：指该项中除字母外的所有数值部分（包括二项式系数和常数项 $a,b$ 的幂次乘积），可能为负。

  在本题中，由于 $a=1,b=x$，二项式系数即为项的系数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷理-07
• 2012年浙江卷理-11
• 2015-上海卷理-11 填-二项式定理