2015-上海卷理-11 填-二项式定理

本题导读

本题考查三项式展开式中特定项系数的求解。核心思路是通过巧妙分组，将三项式转化为二项式处理。利用指数差异极大的特点，快速锁定目标项所在位置，简化计算。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(理)） 在 ${\left(1+x+\frac{1}{x^{2015}}\right)}^{10}$ 的展开式中，$x^2$ 项的系数为 $\underline{}$（结果用数值表示）.

🔍【思路分析】

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1. 多项式分解思路：本题括号内有三项，直接展开较为复杂。可以将前两项看作一个整体，记为 $A=(1+x)$，第三项记为 $B=\frac{1}{x^{2015}}$。
2. 运用二项式定理： ${\left((1+x)+x^{-2015}\right)}^{10}={\sum }_{k=0}^{10}{C}_{10}^k(1+x{)}^{10-k}{\left(x^{-2015}\right)}^k$
3. 项的指数分析：
   • 当 $k=0$ 时，项为 $C_{10}^0(1+x{)}^{10}$。这是一个关于 $x$ 的多项式，最高次项为 $x^{10}$，最低次项为 $x^0$。
   • 当 $k\ge 1$ 时，由于分母上的指数高达 $2015$，即使 $(1+x{)}^{10-k}$ 中产生的最高次方 $x^9$ 与其相乘，结果的指数依然是极小的负数（如 $x^{9-2015}=x^{-2006}$）。
   4. 定位目标项：易知，$x^2$ 项只能产生于 $k=0$ 的那一项中，即 $(1+x{)}^{10}$ 的展开式。
4. 计算系数：根据二项式通项公式求出 $(1+x{)}^{10}$ 中 $x^2$ 的系数。

✅【答案】

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45

✍【详细解析】

Abstract

第一步：对原式进行分组展开 将原式看作 ${\left[(1+x)+x^{-2015}\right]}^{10}$，由二项式定理展开得： $(1+x{)}^{10}+C_{10}^1(1+x{)}^9\cdot x^{-2015}+C_{10}^2(1+x{)}^8\cdot x^{-4030}+\cdots +x^{-20150}$

第二步：筛选含 $x^2$ 的项

• 观察第二项 $C_{10}^1(1+x{)}^9\cdot x^{-2015}$：$(1+x{)}^9$ 展开后的最高次项为 $x^9$，与 $x^{-2015}$ 相乘后指数为 $9-2015=-2006$，远小于 $2$。
• 后续各项由于 $x$ 在分母上的指数越来越大，更不可能产生 $x^2$ 项。
• 因此，$x^2$ 项仅存在于第一项 $(1+x{)}^{10}$ 中。

第三步：计算系数 在 $(1+x{)}^{10}$ 的展开式中，$x^r$ 项的系数为 $C_{10}^r$。 令 $r=2$，则 $x^2$ 项的系数为： $C_{10}^2=\frac{10\times 9}{2\times 1}=45$

答案：45

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项式定理及其通项公式；多项式展开的估值与筛选。
• 核心方法：分组法。面对多项式，先整体再局部。
• 避坑指南：不要被 $x^{-2015}$ 这个巨大的数字吓到。在高考数学中，这类极端数字通常是暗示该项在特定幂次搜索中可以被直接忽略。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 在 $(1+x+x^m{)}^n$ 的展开式中（$m>n$），若要求 $x^r$ 的系数且 $r<m$，则结果等价于 $(1+x{)}^n$ 中 $x^r$ 的系数。

• 相关知识点：杨辉三角、组合数的性质。

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